Die 
natürlichen Zahlen 
B etsoh. 
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Die Addition wird bei dieser Auffassung der Zahl rekur 
rent definiert durch die Formel; 
a + (b + 1) = (a + b) + 1 i0i ) 
Diese Additionsformel drückt aus, daß wir, um b -j-1 zu 
addieren, zuerst b addieren müssen usw., d. h. die Addition 
wird so auf die Addition von 1 zurückgeführt. „Eins addieren“ 
zu einem Stellenzeichen heißt aber, zu dem in der Reihe 
nächstfolgenden Stellenzeichen übergehen. Soll nun die vor 
stehende Formel die Addition wirklich vollständig definieren, 
so müssen sieh alle auf die Addition bezüglichen Lehrsätze 
aus ihr ableiten lassen. Holder verweist auf Graßmann, der 
diese Beweise schon lieferte, und zwar, da die Reihe der 
Stellenzeichen bei Graßmann bereits nach beiden Seiten ohne 
Ende fortsetzbar ist, sofort auch für die negativen Zahlen. 
Die Multiplikation wird rekurrent definiert durch: 
a(b + l) = aXb + a 405 ) 
und a X 1 = a 
Aus dieser Definition lassen sich die übrigen Grundgesetze für 
die Multiplikation der Stellenzeichen ableiten 406 ). Zunächst 
wird bewiesen, daß 1 X a = a ist, dann wird dieses Ergebnis 
für den Beweis des kommutativen Gesetzes verwendet. 
Holder bemerkt nun, daß der Begriff des Stellenzeichens 
nicht alle Beziehungen enthalte, die in dem uns historisch 
überlieferten Zahlbegriff mitgedacht werden. Diesen inhalts 
reicheren Zahlbegriff nennt er den Begriff der „Anzahl“. Er 
entstehe aus der Betrachtung eines endlichen Aggregats von 
unterschiedenen Dingen, das man abzählen kann. 
Die Tatsache, daß man bei jeder beliebigen Ordnung bei der 
Abzählung eines solchen Aggregats immer dasselbe Stellen 
zeichen dem letzten Ding zuzuordnen hat, führt dazu, dieses 
letzte verwendete Zeichen die Anzahl zu nennen. Diese Tat 
sache als unbeweisbar oder als empirisches Ergebnis anzu 
sehen, ist nach Holder ein Irrtum. Er hält diese Grundtat 
sache des Anzahlbegriffs für beweisbar und diesen