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Die 
natürlichen Zahlen 
er gerade darin, daß in fast allen ihren Theoremen das seinem 
Wesen nach Unendliche zu endlicher Entscheidung ge 
bracht wird; diese „Unendlichkeit“ der mathematischen Pro 
bleme beruhe aber darauf, daß die unendliche Reihe 
der natürlichen Zahlen und der auf sie be 
zügliche Existenzbegriff ihre Grundlage bilden 409 ). 
Suchte H. Weyl zu zeigen, daß man die elementaren Wahr 
heiten über die Zahlen unter ständiger Heranziehung des 
Schlusses der vollständigen Induktion logisch herleiten kann 
aus den beiden „Axiomen“: Zu jeder Zahl gibt es eine einzige 
nächstfolgende — zu jeder, außer zu 1, eine einzige unmittelbar 
vorangehende, so will D. Hilbert die ganze Zahlen 
lehre axiomatisch begründen. 
Er ist der Meinung, „daß die Mathematik über einen unab 
hängig von aller Logik gesicherten Inhalt verfügt und daher 
nie und nimmer allein durch Logik begründet werden kann, 
weshalb auch die Bestrebungen von Frege und Dedekind 
scheitern mußten“. Vielmehr sei „als Vorbedingung für die 
Anwendung logischer Schlüsse und für die Betätigung logi 
scher Operationen schon etwas in der Vorstellung gegeben: 
gewisse, äußer-logische konkrete Objekte, die anschaulich als 
unmittelbares Erlebnis vor allem Denken da sind. Soll das 
logische Schließen sicher sein, so müssen sich diese Objekte 
vollkommen in allen Teilen überblicken lassen und ihre Auf 
weisung, ihre Unterscheidung, ihr Aufeinanderfolgen oder 
Nebeneinandergereihtsein ist mit den Objekten zugleich un 
mittelbar anschaulich gegeben als etwas, das sich nicht noch 
auf etwas anderes reduzieren läßt oder einer Reduktion be 
darf“ 410 ). 
Hilbert sagt, die gewöhnliche finite Zahlentheorie 
lasse sich gewiß allein durch Zahlenkonstruktionen mittels 
inhaltlicher anschaulicher Überlegungen auf 
bauen. 
Die Gegenstände der Zahlentheorie sind die Zahl 
zeichen 1, 11, 111,..jedes Zahlzeichen ist anschaulich da 
durch kenntlich, daß in ihm auf 1 immer wieder 1 folgt; diese