Die Erweiterungen des Zahlbegriffs 
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Addition und Multiplikation der Brüche werden durch die 
Formeln 
a c aXd + bXc 
¥ + ¥ = b X d 
a v c a X c 
¥ X T “ b X d' 
definiert und dann gezeigt, daß für Addition und Multiplika 
tion von Brüchen dieselben Gesetze bestehen wie für die ent 
sprechenden Operationen bei den früheren Zahlen. Faßt man 
alle Brüche, die einem bestimmten Bruch gleich sind, zu 
sammen, so soll eine solche Gesamtheit eine sog. Rational- 
z a h 1 vorstellen. Die Rationalzahl ist so durch die betreffende 
Gesamtheit definiert und hat abgesehen von dieser 
keine Existenz. 
Schließlich kann Holder zeigen, daß es zu jeder Rational 
zahl sowohl eine größere als auch eine kleinere gibt, daß bei 
zwei verschiedenen Rationalzahlen immer ein Vielfaches der 
kleineren vorhanden ist, das die größere übertrifft; ferner, daß 
zwischen zwei verschiedenen Rationalzahlen stets eine neue 
gefunden werden kann usw. 
Von besonderem Interesse ist nun die Frage, in welchen 
Punkten Holder wesentlich von Natorp und anderen abweicht 
und ob bei seiner Auffassung der Fiktionsbegriff in größerem 
oder geringerem Umfang heranzuziehen ist. 
Zur ersten Frage kann man wohl sagen, daß der Unter 
schied zwischen den gebrochenen Zahlen Natorps und den 
rationalen Zahlen Hölders nicht so groß ist wie es vielleicht 
scheint. Sagen wir statt ~ soll nur eine Form sein ..., -^ stellt 
eine Beziehung zwischen den Zahlen a und b dar, die den und 
den Forderungen genügen soll, so verschwindet schon ein ge 
wisser äußerer Unterschied. Tatsächlich betrachtet Holder den 
Bruch ~ ja durchaus nicht als eine leere Form, sondern be- 
b J 
kommt, indem er sie nachher mit den verschiedenen inhalt 
lichen Bestimmungen ausstattet, das, was nach Natorp schon 
ursprünglich im Begriff der Zahl liegen soll.