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Fiktionen in der Mathematik 
Man könnte dazu bemerken, daß der historisch überlieferte 
Zahlbegriff für den Mathematiker Holder, wie für andere, 
natürlich ebenso viele inhaltliche Bestimmungen umfaßt wie 
für Natorp. Wenn Holder diesen Weg einschlägt, den er selbst 
als formalen bezeichnet, so hat das in erster Linie den Zweck — 
1. zu zeigen, daß die Operationen mit Brüchen, so wie sie 
die bisherige Mathematik überlieferte, in sich widerspruchs 
frei begründet werden können, und 
daß dieses Rechnen nicht davon abhängen kann und darf, 
ob es irgendwelche empirischen Objekte gibt, an denen diese 
Gebilde als eine Art Eigenschaften anschaulich aufgewiesen 
werden können; aber auch nicht von irgendwelchen geneti 
schen Betrachtungen, wie das Denken etwa derartige Be 
ziehungen setzt; — 
2, die einzelnen Momente vollkommen klarzulegen, die wir 
ohne nähere Angaben, meist ohne uns dessen bewußt zu sein, 
mit dem Begriff der rationalen Zahl verbinden, und sie wo 
möglich auf die einfachsten und ursprünglichsten zurückzu 
führen. 
Natorp betont, daß in seiner Grundreihe bereits alles das 
vorhanden sei, was hier bei den sog. Erweiterungen des Zahl 
begriffs zum Teil in scheinbar künstlicher Form herangezogen 
werden muß. Das stimmt, weil die Elemente jener Grund 
reihe und diese selbst bereits mit allen den Eigenschaften aus 
gestattet werden, die bei den Entwicklungen der Mathematik 
nur stufenweise herangezogen werden, wie man sie für die 
einzelnen Zahlformen braucht. Daß man das alles in den 
Zahlbegriff hineinlegen kann, was Natorp in ihn hineinlegt, 
ist wohl sicher, aber es fragt sich, mit welchem Minimum von 
Forderungen jede einzelne Zahlenart vollständig und wider 
spruchsfrei begründet werden kann. 
G. Hessenberg beantwortet die Frage nach dem Sinn 
der gebrochenen Zahlen zunächst negativ dahin, daß sie keine 
„Anzahlen“, keine natürlichen, ganzen Zahlen sind. Die posi 
tive Antwort lautet: Eine gebrochene Zahl... ist ein Paar 
von natürlichen Zahlen, deren eine der Zähler, deren andere