Die Erweiterungen des Zahlbegriffs 
der Nenner heißt. Diese Zahlenpaare, auch „Brüche“ genannt, 
werden untereinander geordnet und miteinander rechnerisch 
verknüpft nach gewissen Vorschriften. 
Wenn wir diese Zahlenpaare Zahlen nennen, so er 
weitern wir den Umfang des Begriffs „Zahl“, der bisher nur 
die „Anzahlen“, die natürlichen ganzen Zahlen umfaßte. Zum 
Unterschied von diesen nennen wir den neuen Bereich der 
ganzen und gebrochenen Zahlen den der „rationalen Zahlen“. 
Sie bilden einen dichten Ordnungstypus und diese Eigen 
schaft war ausschlaggebend für ihre Einführung. 
H. W e y 1 geht von der Anwendung der Brüche auf Vek 
toren aus und zeigt daran, was die Brüche bedeuten und wie 
die fundamentalen Operationen mit solchen zu verstehen sind. 
So wie hier, meint er, fassen wir die Addition und Multi 
plikation in allen konkreten Anwendungen auf. Da man aber 
nicht für jedes Größengebiet eigene Brüche einführen wolle, 
sei es zweckmäßig, die Brüche rein arithmetisch zu definieren, 
so daß sie nachher auf jedes Größengebiet anwendbar seien; 
das könne dadurch geschehen, daß man dieselben Über 
legungen wie bei den Vektoren auch auf das System der 
natürlichen Zahlen, die selber ein Gebiet addierbarer 
Größen ausmachen, anwende. 
H. Weyl gibt folgenden Aufbau: Setzt man in der Relation 
mx = ny für m und n zwei bestimmte natürliche Zahlen, so 
entspricht der so hervorgehenden binären Relation zwischen 
x und y eine Doppelmenge natürlicher Zahlen, die wir den 
Bruch— nennen. Auf Grund der Multiplikationsgesetze der 
natürlichen Zahlen kann man dann beweisen, daß zwei 
Brüche, — und dann und nur dann identisch sind, wenn 
n n' 
m n' — m' n ist. Multiplikation und Addition zweier Brüche 
m 
und ß = 
a = 
n 
n 
werden definiert durch 
(m n') -f (m' n) 
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