Die Erweiterungen des Zahlbegriffs 
Betsch. 
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rationalen Zahlen ganz auf die natürlichen Zahlen fundiert. 
Er sagt: 
Wo uns immer der Ausdruck begegnet „es gibt eine ratio 
nale Zahl von der und der Beschaffenheit“ bedeutet er: es gibt 
vier natürliche Zahlen m, n, p, q, so daß die rationale Zahl 
— -f- — jene Eigenschaft besitzt. Ein Bereich von rationalen 
n q 
Zahlen ist eine vierdimensionale Menge natürlicher Zahlen. 
Eine vom bisherigen wesentlich abweichende Auffassung 
der Zahlerweiterungen finden wir bei G. Heymans. Da sie in 
gleicher Weise sich auf die irrationalen und komplexen wie 
auf die negativen und gebrochenen Zahlen bezieht, leitet sie 
uns zu jenen beiden heißumstrittenen Zahlentypen hinüber. 
Heymans betrachtet als eigentliche Zahlen nur die ganzen 
positiven Zahlen und nach seiner Meinung läßt sich nur an 
diesen verständlich machen, was die Zahlgesetze, was Ad 
dieren, Multiplizieren usw. bedeuten. Es sei vollkommen klar, 
was es heiße, eine Zahl n zweimal nehmen, aber es sei nicht 
einzusehen, was es heißen soll, eine Zahl (—2)mal, 1 Umal, 
ylTmal, oder y —1 mal nehmen. Das Multiplizieren sei eben 
eine Operation, welche ihrer Natur nach nur mit Zahlen und 
mit nichts anderem ausgeführt werden könne. „Mit etwas, 
welches keine zählbare Zahl ist, multiplizieren, hat einfach 
keinen Sinn“ 412 ). Heymans kann sich daher mit der Art, wie 
negative, gebrochene, irrationale und imaginäre Zahlen meist 
eingeführt werden, nicht einverstanden erklären. 
Er sagt, daß sich der Gegensatz des Positiven und Negativen 
nicht auf die Zahl, sondern auf das Gezählte beziehe; wenn a 
eine beliebige Relation oder einen beliebigen Übergang vor 
stellt, so bedeutet — 3 a nicht, daß dieser Übergang — 3mal, 
sondern, daß 3mal ein anderer, diesem entgegengesetzter 
Übergang zustande gebracht werden muß. Ausdrücke wie etwa 
3 a und — 5 a beziehen sich demnach auf verschiedene 
Einheiten; aus dieser Auffassung ergeben sich nach seiner 
Meinung leicht die Rechenregeln. Ähnlich soll es sich mit den 
gebrochenen Zahlen verhalten; auch hier habe man es ur