Fiktionen in der Mathematik 
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sprünglich mit verschiedenartigen Einheiten, also mit Exem 
plaren verschiedener Begriffe zu tun und zwar mit solchen, 
die die Eigenschaft besitzen, daß n Einheiten der einen Art 
mit einer Einheit der andern Art äquivalent sind. Die Brüche 
sollen also wie die negativen Zahlen benannte Zahlen sein. 
„Für die irrationalen und imaginären Zahlen gilt das näm 
liche. Auch hier ist es im Grunde nicht die Zahl, sondern die 
Einheit, welche ihre Natur ändert: wenn in der Geometrie 
a eine beliebige Einheitsstrecke bedeutet, so sind aj^sT und 
a Y~ 1 andere Einheiten, welche sich rein arithmetisch in 
jene erstere nicht ausdrücken lassen, sondern deren Bedeu 
tung geometrisch durch Hinweisung auf das Längenverhältnis 
zwischen Kathete und Hypotenuse im rechtwinkligen gleich 
schenkligen Dreieck, oder auf das Richtungsverhältnis ver 
schiedener Achsen erklärt werden muß. — Überall, wo die 
Zahlenreihe eine Erweiterung zu erfahren scheint, 
haben wir es demnach ursprünglich mit verschiedenartigen, 
aber in Beziehung aufeinander bestimmten Einheiten zu tun; 
wo solche Einheiten vorliegen, bietet die Einführung der nega 
tiven, gebrochenen, irrationalen und imaginären Zahlen kein 
Problem. Es fragt sich nur, aus welchen Gründen der Mathe 
matiker sich berechtigt glaubt, das erweiterte Zahlsystem 
ganz allgemein, ohne zu fragen, ob die Einheiten, mit wel 
chen er sich zur Zeit beschäftigt, andere von der Form —a, 
~ aj/12 oder aj^—1 neben sich zulassen, seinen Operationen 
zugrunde zu legen“ 413 ). Heymans meint, wenn der Mathematiker 
die Bedingungen, denen eine gesuchte Lösung genügen muß, 
in Formeln bringe, so nehme er darunter ausdrücklich oder 
stillschweigend auch die Bedingung auf, daß gewisse Zahlen 
nicht negativ, gebrochen, irrational oder imaginär werden 
dürfen, um so von vornherein die Möglichkeit auszuschließen, 
daß Zahlen, denen keine reelle Bedeutung zukäme, im Resultat 
verkommen sollten usw. 
Bei den Transformationen und Verbindungen, die die Arith 
metik mit den Zahlgleichungen dann vornehme, werde „nun