Die Erweiterungen des Zahlbegriff 
das ganze Schema der negativen, gebrochenen, irrationalen 
und imaginären Zahlen vorausgesetzt und nötigenfalls als 
Durchgangsstadium benutzt“. Es frage sich, in welchem Sinn 
dies geschehen könne. Die Antwort muß nach Heymans lauten, 
„daß, wenn auch reine Zahlen sich nur als 
ganze positive denken lassen, dennoch bei 
Operationen mit reinen Zahlen ohne Nach 
teil vorübergehend von ihren Anwendungen 
auf b e s o n d e r e F äl 1 e, welche andere als ganze 
positive Zahlen zulassen, Gebrauch gemacht 
werden kann.“ Denn dies Verfahren lasse sich in folgende 
Einzelschritte zerlegen: Aus dem Substitutionsgesetz folge 
analytisch, daß eine für Zahlen geltende Gleichung auch für 
Anzahlen beliebiger Objekte, und eine für Anzahlen be 
stimmter Objekte auch für Zahlen gelten müsse. „Die reinen 
Zahlgleichungen, mit denen die Rechnung anhebt, müssen 
demnach auch für solche Einheiten gelten, welche negative, 
gebrochene, irrationale und imaginäre Einheiten neben sich 
zulassen. Gelten aber diese Gleichungen für solche Einheiten, 
so müssen für die nämlichen Einheiten auch andere Gleichun 
gen gelten, welche sich durch Vermittlung der negativen, ge 
brochenen, irrationalen oder imaginären Einheiten aus den 
ersteren ableiten lassen. Diese abgeleiteten, für die betreffen 
den Einheiten geltenden Gleichungen müssen aber auch wieder 
für reine Zahlen gelten“ 414 ). 
Heymans sagt dann noch: Mit Unrecht würde man die rein 
analytische Natur dieser Beweisführung dadurch beeinträch 
tigt glauben, daß empirische Elemente (nämlich die Existenz 
solcher Einheiten, welche negative Einheiten usw. neben sich 
haben) in dieselbe hineintreten. Denn es ist eben nicht die 
tatsächliche Existenz, sondern ausschließlich die Denkbar 
kei t solcher Einheiten, auf welche es hier ankommt...“ 415 ). 
Diese gedachten Einheiten reichen nach Heymans vollständig 
aus, die Vermittlerrolle in der gebotenen Beweisführung zu 
übernehmen usw. 
Diese Auffassung der Zahlerweiterungen wird der tatsäch- 
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