Fiktionen in der Mathematik 
E. Quotient: 
19. Sind a und b Zahlen und b + 0, so ist auch ~ eine 
b 
(durch a und b eindeutig bestimmte) Zahl. Statt ~ schreibt 
man auch a : b. 
20. b. A — a. 
b 
Dazu kommt noch 
F, Der Archimedische Satz: 
21. Ist a eine Zahl, so gibt es positive ganze Zahlen n, für 
welche n > a ist. 
Auf diesen Sätzen im Verein mit der rekurrenten Er 
zeugungsweise der positiven ganzen Zahlen, die dem 
Schluß von n auf n -f-1 (vollst. Ind.) zugrundeliegt, beruht 
die ganze Arithmetik. Die andern Sätze, die man beim Rech 
nen selbst noch anwendet, lassen sich rein logisch aus den 
vorstehenden ableiten. 
Diese Gesetze 1 bis 21 lassen sich nun für die Arithmetik 
der Schnitte nachweisen, sobald man sie für die rationalen 
Zahlen als gültig voraussetzt 422 ). Da aber das Rechnen mit 
Zahlen auf diesen Gesetzen beruht, kann man mit Schnitten 
offenbar genau so rechnen wie mit rationalen Zahlen. Zwi 
schen den Schnitten erster und zweiter Art und den rationalen 
Zahlen besteht nun eine umkehrbar eindeutige Zuordnung, 
indem jeder Zahl ein solcher Schnitt und umgekehrt jedem 
solchen Schnitt eine Zahl entspricht, die bei der ersten Art die 
größte der Unterklasse, bei der zweiten Art die kleinste der 
Oberklasse ist. Man kann daher jede rationale Zahl unzwei 
deutig dadurch bestimmen, daß man den entsprechenden 
Schnitt der ersten oder zweiten Art angibt. 
Da nun auch jede Beziehung (Gleichung oder Ungleichung) 
zwischen rationalen Zahlen, bei der nur die Operationen der 
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auftreten, 
richtig bleibt, wenn man darin die rationalen Zahlen durch 
ihre entsprechenden Schnitte erster Art ersetzt, so ist die