Fiktionen in der Mathematik 
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weisen, hat man das Mittel, es auf ein System von Zahlen 
zurückzuführen. Da uns hier ein analoges Verfahren nicht zur 
Verfügung steht, können wir die Widerspruchslosigkeit nicht 
anders beweisen, als indem wir wirklich ein System von 
Zahlen konstruieren, das in sich widerspruchslos ist und das 
den vorgelegten Axiomen genügt. Die Aufstellung eines sol 
chen Zahlensystems kann deshalb nicht entbehrt werden 433 ). 
Unter den Theorien, die sich der Cantorschen unterordnen 
lassen, soll noch die von P. Bachmann erwähnt werden. 
Bachmann verwendet zwei rationale Zahlenfolgen, die eine 
ai, aa, a 3 ... monoton wachsend, die andere bi, bs, b 3 ... mono 
ton abnehmend, derart, daß b n —a n nie negativ, aber mit 
wachsendem n beliebig klein wird. Zwei solche Folgen haben 
einen gemeinsamen Grenzwert. Bachmann weist das nicht 
nach, sondern erreicht es wieder durch Definition, indem er 
jedes solche Paar von Zahlfolgen als Zahl « definiert, für die 
er das Zeichen 
einführt. 
Unter Übergehung der Weierstraßschen Theorie der Ir 
rationalzahlen, die nicht nach seiner eigenen Darstellung, son 
dern nur nach der Wiedergabe anderer beurteilt werden 
könnte, wenden wir uns noch den Russellschen Ausführun 
gen zu. 
Wir gehen vom Begriff der Menge aus und definieren: Ein 
Element x heißt ein „oberer Limes“ einer Menge a hin 
sichtlich einer Beziehung P, wenn 1. a kein Maximum in P 
hat, 2. jedes Element von a, das zum Feld von P gehört, dem 
x vorangeht, 3, jedes Element des Feldes von P, das dem x 
vorangeht, auch irgendeinem Element von a vorangeht. 
Ein Element x heißt ein Maximum einer Menge a hin 
sichtlich der Beziehung P, wenn x ein Element von a und vom 
Feld von P ist und die Beziehung P zu keinem andern Element 
von a hat. Die „obere Grenze“ einer Folge von Elementen 
ist ihr letztes Glied, wenn ein solches existiert; im andern Fall