Fiktionen in der Mathematik 
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die den Brüchen entsprechen, deren Quadrat kleiner ist als 2. 
Noch einfacher: ylT ist das Segment, das aus allen Brüchen 
besteht, deren Quadrat kleiner ist als 2“ 434 ). 
Man versteht nicht recht, wie sich Russell zu seiner scharfen 
Stellungnahme gegen Dedekind veranlaßt sehen konnte; die 
Schnitte, die wir im Anschluß an Dedekind einführten, leisten 
dasselbe wie die Russellschen Segmente. 
Wie Russell die rationalen reellen Zahlen streng 
von den Brüchen unterscheidet, so stellten wir die „rationalen 
Schnitte“ den ihnen zugeordneten rationalen Zahlen gegen 
über. Den Beweis, daß eine Folge von rationalen reellen Zah 
len, also von Segmenten, eine Grenze besitzt, kann Russell 
auch nicht strenger erbringen als die Schnitttheorie. Dedekind 
hat allerdings den Schnitt dritter Art nicht selbst als die Ir 
rationalzahl definiert, sondern eine Zahl postuliert, die die 
Lücke ausfüllt. 
Von philosophischer Seite hat sich besonders P. Natorp mit 
dem Problem der irrationalen Zahlen beschäftigt. Er meint, 
durch die Theorie von Dedekind sei vor allem klargestellt 
worden: 
1. daß zwar aus der Stetigkeit die Teilbarkeit ins Unendliche 
folge, aber umgekehrt aus dieser Teilbarkeit die Stetigkeit 
noch nicht, denn zwischen irgend zwei rationalen Zahlen lasse 
sich stets eine weitere angeben und trotzdem weise dieses 
System Lücken auf; 
2. daß dem Gesetz gemäß, nach dem der irrationale Wert 
durch Reihen rationaler Werte nicht ausgerechnet, aber in 
beliebiger Näherung berechnet werden kann, von jedem ratio 
nalen Wert sich ausmachen lasse, ob er größer oder kleiner als 
der fragliche irrationale sei. 
Dagegen sei das einzige, was des Beweises bedurfte, durch 
die Dedekindsche Argumentation nicht bewiesen worden, „daß 
einem jeden Schnitt des rationalen Systems ein und nur ein 
bestimmter Wert entspreche, durch dessen Hinzunahme alle 
mal eine Lücke des Systems geschlossen werde“ usw. Nach