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Die Erweiterungen de
Zahlbegriffs
hauptet: Die Anerkennung des Irrationalen in seiner strengen
Bedeutung schließe die des Transfiniten ein; das ist der Stand
punkt Natorps, bei dem er sich auch auf Cantor beruft. Nach
der anderen Ansicht ist die Irrationalität eine finite Eigen
schaft, die kein Hinausschreiten über das Archimedische
Axiom erfordert.
Nach Natorp liegt in dem prinzipiellen Hinausgehen über
jede wie auch immer gewählte Einheit zu einer neuen in der
Art, wie es Veronese durchführt, der Überschritt zur echten
Unendlichkeit und damit Stetigkeit der Zahl.
Auch Veronese vermöge nicht und versuche auch gar nicht
das Unmögliche, aus Diskretem Stetiges zu machen; er stelle
im Gegenteil das absolute Hinausgehen der Stetigkeit über
jede, und wäre es unendlichfach unendliche, Diskretion unum
stößlich fest.
So allein, meint Natorp, komme endgültige Klarheit in die
Sache. Die Zahl werde zum reinen und adäquaten Ausdruck
der Denkgesetzlichkeit selbst in ihrem ganzen Umfang, die
nichts anderes sei als Gesetzlichkeit der Relation usw.
Den bisherigen Definitionen der Stetigkeit gegenüber betont
Natorp: Es sei von Anfang an falsch gewesen, die Stetigkeit
durch die angebbare Möglichkeit der Diskretionen definieren
zu wollen, da sie das Hinausgehen über jede Diskretion be
sage. Nicht die quantitative Allheit, sondern die qualita
tive Allheit bezeichne das Stetige.
Es sei falsch, das Kontinuum aus den diskreten Werten zu
sammensetzen zu wollen, das Unendliche liege vielmehr, als
Ursprung, zugrunde. Wir bestreiten nicht, daß das „Kon
tinuum der reellen Zahlen“, d. h. das mathematische Kon
tinuum, nicht identisch ist mit dem anschaulichen Kontinuum
der Zeit oder der geraden Linie; wir geben auch zu, daß im
„Kontinuum der reellen Zahlen“ die einzelnen Elemente genau
so isoliert gegeneinander stehen wie etwa die ganzen Zahlen;
aber gerade das zeigt, daß das Problem der Stetigkeit ein
anderes ist als das der Konstruktion eines Zahlenkontinuums.
Nur auf einen Punkt sei noch hingewiesen. Natorp sagt, es
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