Die Erweiterungen des Zahlbegriffs 
lieferten. Sie kommen schon in den geometrischen Darstel 
lungen von Gauß und Riecke zum Ausdruck, allerdings noch 
nicht in der arithmetisch präzisierten Form. 
3. H. Graßmann führt in seiner Ausdehnungslehre den 
Begriff der extensiven Größe ein, der das Gebiet der 
reellen Zahlen als speziellsten Fall, als System Oter Stufe 
umfaßt. Eine Größe nter Stufe hat die Form 
a 0 ®0 + a ! e i + a 2 e 2 + •+■ a n ön, 
worin die Koeffizienten ao bis a n gewöhnliche reelle Zahlen, die 
e 0 ... e n aber Einheiten sind, die ganz unabhängig voneinander 
sind. In diesem Größengebiet lassen sich nun die verschie 
denen arithmetischen Operationen definieren, wobei hinsicht 
lich der Multiplikation der Einheiten besondere Festsetzungen 
getroffen werden können. 
Nimmt man ein System von nur zwei Einheiten ao eo + a± ei 
und feetzt hinsichtlich der Multiplikation der Einheiten fest, 
daß 
e 0 e 0 = e, und X e t = — 1 
sein soll, so erhält man als Spezialfall die gewöhnlichen kom 
plexen Größen. Die heutigen Darstellungen der komplexen 
Zahlen gehen wohl meist von dieser Auffassung aus; die kom 
plexen Zahlen werden als Zahlenpaare dargestellt, bei denen 
man zur Vereinfachung die eine, sog. reelle Einheit, unter 
drückt, die imaginäre Einheit aber beibehalten muß. Wenn 
man ein solches Zahlenpaar dann im Sinn der analytischen 
Geometrie als Punkt einer Ebene auffaßt, so gehen alle arith 
metischen Operationen Hand in Hand mit entsprechenden 
geometrischen Konstruktionen. Dann kann die Gaußsche 
Darstellung der komplexen Zahlen wirklich als eine gewisse 
Begründung der komplexen Zahlen auf gef aßt werden, aller 
dings unter Bezugnahme auf geometrische Vorstellungen. Will 
man diese vermeiden und die komplexen Zahlen rein arith 
metisch begründen, so ist zu zeigen, daß die Operationen mit 
komplexen Zahlen einzig auf gewisse Operationen mit den 
Koeffizienten der beiden Einheiten, also auf Operationen mit