283 
t i k 
pruchs- 
Pasch 
Zahlen 
e Fest- 
in sehe 
eil und 
iindung 
rm aus 
n oder 
erkmal 
t; sein 
as eine 
Irreihe, 
d aus 
einzig, 
eichens 
en und 
3n, mit 
sv. aber 
rig des 
ten des 
Grund- 
Rück- 
äge in 
re Auf- 
die Be- 
r ags, 
Zahlen 
wieder 
40^ 
digend 
durch- 
n. Das 
Die Erweiterungen des Zahlbegriffs 
wäre aber der Fall, wenn als Exponent der Potenzen (—) n 
nur ganzzahlige Werte zugelassen würden, denn der Übergang 
von der Grundreihe in die Gegenreihe, der durch Vermehrung 
oder Verminderung des Exponenten um eine ungerade Zahl 
bewirkt wird, wäre nicht stetig. Die Kontinuität in der Reihe 
beträfe jetzt nur die Werte, nicht aber den Beziehungssinn. 
Wenn so in der stetigen Reihe der relativen Zahlen der Über 
gang von der Plus- zur Minusbeziehung und umgekehrt nur 
durch einen Sprung möglich sei, so weise diese Unstetigkeit 
auf die Notwendigkeit hin, die hier fehlende Kontinuität durch 
eine neue Schöpfung des Denkens herzustellen; der Ge 
danke selbst vollziehe doch den Übergang 
stetig 441 ). 
Mag uns diese Argumentation stichhaltig erscheinen oder 
nicht, das Ergebnis der Natorpschen Überlegungen ist, daß 
wir als Exponenten der Potenz (—) n für n nicht nur ganze 
Zahlen, sondern beliebige reelle Werte zulassen müssen. Da 
mit gibt er aber nur das wieder, was schon 70 Jahre früher 
von Scheffler in seinem Situationskalkül eingehend 
erörtert und arithmetisch streng dargestellt wurde, Scheffler 
hat für den Ausdruck (—) n den Namen Richtungsfaktor 
eingeführt und die anderen möglichen Ausdrucksformen dafür 
angegeben, nämlich 
V— l x n n 
D = (—) n = e K — x = cos n jt + 1^ — 1 sin n?i. 
Damit haben wir nach Natorp für das reine Denken das Kon 
tinuum der Beziehungssinne oder Richtungen ebenso wie das 
der Werte. Die zirkuläre Änderung erscheint Natorp 
ebenso ursprünglich wie die lineare; sie fordere daher schon 
bei der ersten Aufstellung der Zahlreihe Berücksichtigung. 
Darin stimmt er den Mathematikern zu; aber er wirft ihnen 
vor, sie hätten nicht erkannt, daß die lineare Änderung 
schlechthin zugrunde liege, und die zirkuläre Änderung nur 
im Rückblick auf sie zu sicherem Begriff gebracht werden 
könne, und daß die zirkuläre Änderung als Änderung der 
Position eben rein aus den selbständig für sich zu betrachten 
den Beziehungen der Position zu begründen sei.