Fiktionen in der Mathematik
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legitime mathematische Begriffsbildungen sehen können?
Diese Frage wird nach unserer Ansicht durch den Nachweis
der Widerspruchslosigkeit der neuen Begriffsbildungen beant
wortet. Wird sie bejaht, so fragt es sich noch, ob der bereits
in bestimmter Bedeutung verwendete Begriff der Zahl auch
auf sie übertragen werden darf oder nicht. Hinsichtlich der
ersten Frage sollten gerade die Darlegungen dieses Kapitels
zeigen, daß die Zahlerweiterungen widerspruchsfrei durch
führbar sind. Wir geben zu, daß in diesen Begriffsbildungen
so lange Fiktionen gesehen werden konnten, als eine wider
spruchsfreie Begründung nicht erbracht werden konnte (pro
visorische Bildungen — Typus C 3 ); dieses Stadium scheint
uns überwunden. Mit dieser Ansicht befinden wir uns aller
dings im Widerspruch mit manchen Philosophen, die die
Irrationalzahlen, besonders aber die imaginären Zahlen, nicht
als widerspruchsfrei anerkennen wollen. Aber wir können
auch auf zustimmende Äußerungen von philosophischer Seite
hinweisen. So sagt P. Natorp:
„Die Geschichte des Imaginären ist eines der denkwürdig
sten Zeugnisse für die siegende Kraft des Logischen in der
Mathematik, zugleich aber für die oft zu einem harten Rigo
rismus sich steigernde formal-logische Gewissenhaftigkeit
derselben, die selbst einer so ursprünglich notwendigen,
darum auch wie mit Naturgewalt sich Bahn brechenden Neu
schöpfung, wie der der komplexen Zahl, das Heimatrecht im
Reiche der mathematischen Begriffe so lange bestritt, als eben
ihre logische Zulänglichkeit nicht überzeugend dargetan wer
den konnte.“ Natorp schildert dann, wie schon im 17. Jahr
hundert das Rechnen mit dem Imaginären aufkam, wie ihm
aber lange das Existenzrecht abgesprochen wurde, wie man in
ihm eine zur Vereinfachung gewisser Rechnungen zwar nütz
liche, in sich aber sinnlose Fiktion sah.
Auch die von Wallis entdeckte Möglichkeit der Dar
stellung der Punkte der Ebene durch die komplexen Zahlen
änderte zunächst nicht viel; erst die Erkenntnis, daß allgemein
eine Rechnung mit verschiedenen Einheiten möglich ist und
