Fiktionen in der Mathematik 
Axiome, falls sie allgemein durchführbar ist, in einem ganz 
neuen Licht, Man braucht dann nicht erst die ursprünglich 
gegebene Gegenstandskategorie künstlich zu erweitern unter 
Festhaltung der Gültigkeit der Axiome, denn zu der betreffen 
den Gegenstandskategorie gehören vornweg alle die Gegen 
stände, die das System zu einem abgeschlossenen machen. 
Zugleich geht aus den Darlegungen wieder der rein logische 
Charakter der mathematischen Schlußweise hervor. 
Ob wir bei den hier behandelten uneigentlichen Elementen 
von Fiktionen reden können oder nicht, hängt nun wesentlich 
davon ab, ob wir für die Aufstellung der Gegenstandskategorie 
und der sie beherrschenden Beziehungen den Ausgang von der 
Anschauung als notwendig erachten oder nicht. Verlangen wir 
für die Aufstellung der Gegenstandskategorie und der Axiome 
die Anknüpfung an die Anschauung derart, daß diese Axiome 
zunächst nur für die anschaulich gegebenen Gegenstände 
gelten, so erscheint die Ausdehnung auf die „uneigentlichen“ 
Elemente als fiktiv; nicht im Sinn von widerspruchsvoll, da ja 
die logischen Beziehungen gewahrt bleiben müssen, aber im 
Sinn von unwirklich. 
Nehmen wir aber statt der Anschauung ein bestimmtes 
Axiomensystem als Ausgangspunkt und definieren durch dieses 
implizite die zugehörige Gegenstandskategorie, so haben wir 
nachzuweisen, daß das System widerspruchslos ist. Ist dies 
der Fall, so sind entweder alle Gegenstände dieser Kategorie 
als unwirklich, nur logisch definiert, also als Fiktionen zu be 
trachten, oder keine derselben. 
Es besteht hier aber auch die Möglichkeit, daß in einem auf 
gestellten Axiomensystem zwar kein Widerspruch nach 
gewiesen, aber auch keine Gegenstandskategorie aufgewiesen 
werden kann, die dem System genügt. In diesem Fall werden 
wir mit Recht von Fiktionen reden (Typus A 3 , A«; sowie C 3 , Di). 
Wir knüpfen nun wieder an das zu Anfang dieses Kapitels 
erörterte Problem der Subsumtion des Kreises unter die 
Ellipse an. Vaihinger glaubt, dazu den Begriff des Unend 
lich-Kleinen heranziehen zu müssen und bemerkt dann zum 
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