Fiktionen in der Mathematik 
Diese Betrachtungen sollen zugleich zeigen, daß auch, entgegen 
einer weitverbreiteten Meinung, beim Limesbegriff das Un 
endliche nicht benötigt wird. 
Wir sagen, die Zahlenfolge a± = 0,3; a 2 — 0,33; a 3 = 0,333; 
a 4 — 0,3333 usw. habe den Limes lim a n = 4-. 
n = oo n O 
Was soll damit behauptet werden? 
Schreiben wir die Zahlfolge als Differenzen: 
_i 1,1 1 1 1 
a ' — 3 30 ’ &2 ~~ 3 300 ’ 8,3 T 3 3000 
allgemein 
1 1 
a " “ 3 3.10“’ 
so sieht man, daß die Differenzen a n von einem bestimm 
ten Index n an für alle größeren Indizes kleiner werden als 
g IQ . Man kann daher zu jeder noch so kleinen Zahl g, die 
nicht 0 sein darf, stets ein n angeben, von dem an alle Diffe 
renzen — a n kleiner als g sind. Diesen Tatbestand drücken 
wir durch den Satz aus; Die Glieder der obigen Zahlenfolge 
konvergieren gegen 4-, oder: 4- ist der Grenzwert (Limes) der 
6 6 , 
Folge. 
Es ist leicht zu zeigen, daß eine solche unendliche Zahlen 
folge höchstens einen Limes haben kann. 
Wir betrachten nun einen Kreis und die ihm umbeschrie 
benen und einbeschriebenen regulären Sechsecke und be 
zeichnen die Seite des umbeschriebenen Sechsecks mit ao, die 
des einbeschriebenen mit bo, den Abstand des Mittelpunktes 
von be mit Qo, den Inhalt des umbeschriebenen Sechsecks mit 
Je, den des einbeschriebenen mit ie. Dann gelten die Formeln 
6 h 6 • Oe . 
2 ’ 
ie < '' Je • 
Dabei machen wir Gebrauch von dem Satz: „Zerlegt man ein 
Polygon in eine endliche Anzahl von Teilpolygonen, so kann 
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