Fiktionen in der Mathematik 
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samtheit aller endlichen Kardinalzahlen ist das nächstliegende 
Beispiel einer transfiniten Menge, ihre Kardinalzahl ist N 0 ; 
diese ist zugleich die kleinste transfinite Kardinalzahl. 
Von diesen transfiniten Mengen gelten nun folgende grund 
legende Sätze: 
A. Jede transfinite Menge T hat Teilmengen mit der Kar 
dinalzahl fc 0 . 
B. Ist S eine transfinite Menge mit der Kardinalzahl ^ o , 
Si irgendeine transfinite Teilmenge von S, so ist auch 
W 1 = fco- 
C. Jede endliche Menge E ist so beschaffen, daß sie mit 
keiner von ihren Teilmengen äquivalent ist. 
D. Jede transfinite Menge T ist so beschaffen, daß sie Teil 
mengen Ti hat, die ihr äquivalent sind. 
Die Sätze C und D zeigen nach Cantor die wesentliche Ver 
schiedenheit der endlichen und der transfiniten Mengen am 
deutlichsten. 
G. Cantor wirft nun die Frage nach höheren Kardinal 
zahlen auf und zeigt, daß auch die transfiniten Kardinal 
zahlen sich nach ihrer Größe ordnen lassen und wie die end 
lichen, nur in erweitertem Sinn, eine „wohlgeordnete 
Menge“ bilden. Zu jeder transfiniten Kardinalzahl a gibt es 
nach Cantor eine nach einheitlichem Gesetz aus ihr hervor 
gehende nächstgrößere usw. 
Um dies zu beweisen, wendet er sich der Theorie der 
Ordnungstypen zu. Hier sind es vor allem wieder die 
transfiniten Ordnungstypen, denen Cantor Be 
achtung schenkt, da ihm die Ordnungstypen endlicher einfach 
geordneter Mengen nichts Besonderes bieten. Während für 
eine endliche Kardinalzahl alle einfach geordneten Mengen 
einander ähnlich sind, also denselben Ordnungstypus haben, 
gibt es zu einer und derselben transfiniten Kardinalzahl un 
zählig viele verschiedene Typen einfach geordneter Mengen, 
die in ihrer Gesamtheit eine besondere Typenklasse kon 
stituieren.