Betsch.
21
321
Das Unendliche in der Mathematik. Mengenlehre
1. Hinzufügen eines Elementes zu einer bereits erzeugten
Zahl.
2. Bildung des Limes über eine Reihe vom Typus w bereits
erzeugter Zahlen.
Hessenberg zeigt, daß das zweite Prinzip notwendig und
hinreichend für die zweite Zahlklasse ist, daß es aber auch
nur für diese ausreicht.
Die Anfangszahl der dritten Klasse kann nicht Limes
einer Reihe vom Typus w sein. Will man daher zu den Zahlen
der dritten Klasse gelangen, so braucht man als drittes Er
zeugungsprinzip den Limes über eine Reihe von Typus ß 1?
und von diesem Prinzip läßt sich dann zeigen, daß es zu allen
Zahlen der dritten Klasse, nicht aber darüber hinaus führt usw.
Warum beanstandet nun Hessenberg die Bezeichnung „Er
zeugungsprinzipien“ ?
Er behauptet, daß sie nicht zum Beweis aller Eigenschaften
der erzeugten Gebilde genügen. Um dies zu zeigen, behandelt
er die übliche Herleitung der ganzen Zahlen aus dem ersten
Prinzip, die nach seiner Ansicht formvollendet, aber trotzdem
lückenhaft ist. Betrachten wir zum Beispiel den allgemeinen
Satz der Algebra a + b = b -j- a, so ist zwar jeder Spezialfall
desselben durch eine endliche Anzahl von Schlüssen beweis
bar, aber die Zahl der Schlüsse ist um so größer, je größer die
Zahlen a und b sind. „Die Kette derjenigen Schlüsse, die zum
Beweis des allgemeinen Satzes erforderlich sind, ist unendlich.“
Es sind nun auch heute noch Mathematiker der Ansicht, daß
eine unendliche Schlußkette zu keinem prinzipiellen Bedenken
Anlaß gebe. Da sich aber die Analysis des Unendlichen auf
den Standpunkt stellte, daß eine unendliche Reihe von Addi
tionen kein Resultat hat, weil sie zu keinem Ende kommt, muß
man diesen Standpunkt auf jede unendliche Folge irgend
welcher Gedanken Operationen ausdehnen. Man führt ja auch,
sogar bei einer endlichen Kette von Schlüssen, diese gar nicht
wirklich aus, viel weniger die sämtlichen Syllogismen eines
unendlichen Beweises. „Das Wesentliche an der Durchführ
barkeit solcher Schlußketten ist vielmehr ihr g e s e t z -
