Fiktionen in der Mathematik 
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wir schon im zweiten und dritten Kapitel gezeigt. Hessenberg 
sucht nun zu zeigen, daß die Existenz von Mengen, welche alle 
formalen Eigenschaften der Menge G besitzen, beweisbar ist, 
wenn die Existenz transfiniter Mengen überhaupt zugegeben 
wird. Daß für die Existenz dieser Mengen ein logischer Beweis, 
der allen Bedenken standhielte, noch nicht erbracht ist, gibt 
er zu. Man nehme daher vorläufig am besten den Standpunkt 
ein, daß umgekehrt die Existenz der transfiniten 
Menge G eine Grundtatsache unserer Erkenntnis 
sei, aus der wir schließen, daß der Begriff einer transfiniten, 
d. h. einem ihrer Teile äquivalenten Menge keinen Wider 
spruch enthalte. 
Hessenberg kommt also schließlich auf den axiomatischen 
Standpunkt hinaus. Ähnlich liegt die Sache bei den rein 
logischen Begründungsversuchen von Frege und 
Russell. 
So wie Hilbert die Widerspruchslosigkeit der Geometrie er 
wiesen hatte durch ihre Zurückführung auf die Arithmetik, so 
suchten Frege und Russell die Arithmetik und die Mengen 
lehre auf die Logik zu gründen. Diese Versuche haben zweifel 
los wertvolle Ergebnisse geliefert. 
Russell suchte die Paradoxien nicht nur zu vermeiden, 
sondern prinzipiell zu verstehen. Er entwickelte außer dem 
logisch einfachsten Typus der Paradoxien noch eine Art voll 
ständiges System derselben; die Beherrschung der Para 
doxien wurde sein fester Grund. Aber eben die Tatsache, daß 
die Paradoxien auch schon in der Logik auftreten, zeigte, daß 
durch die Zurückführung der Mathematik auf die Logik allein 
keine größere Sicherheit des Operierens erzielt wird. So kam 
Russell zu seinem Verfahren des Stufenkalküls, aus 
dem aber Analysis und Mengenlehre nicht zu gewinnen waren. 
Russell und Whitehead sahen sich daher genötigt, zur 
Axiomatik zu greifen, indem sie das sog. Reduzibilitäts- 
a x i o m einführten. 
Die mathematische Logik erreichte ihr Ziel einer rein logi 
schen Begründung der Arithmetik also nicht. Nach P. Ber-