Fiktionen in der Mathematik 
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dieser Festlegung nicht viel gewonnen ist, haben wir früher 
schon gesehen. Dagegen wird man zustimmen, wenn Poincare 
von der Definition einer Menge und ihrer Elemente fordert, 
sie müsse uns lehren: 
1. die Elemente der Menge von denen zu unterscheiden, die 
nicht zu der Menge gehören; 
2. die einzelnen Elemente der Menge zu unterscheiden. 
Poincare meint: Jeder Satz der Mathematik muß verifizier 
bar sein, auch dann noch, wenn von unendlich großen Zahlen 
die Rede ist. Da aber die Verifikation sich nur auf endliche 
Zahlen erstrecken kann, folgt, daß jedes Theorem über un 
endlich große Zahlen oder über unendliche Mengen, unend 
liche Kardinalzahlen, unendliche Ordnungszahlen nichts 
anderes sein kann, als eine abgekürzte Form für den Ausdruck 
einer Behauptung über endliche Zahlen. Ein Axiom, das 
von unendlich großen Zahlen handelt, kann also nicht evident 
sein. Jede Eigenschaft der unendlich großen Zahlen ist eine 
Übertragung einer Eigenschaft der endlichen Zahlen. Diese 
letztere kann evident sein; man hat nur zu zeigen, daß die 
Übertragung möglich und exakt ist. 
Poincare legt schließlich den Gegensatz der Mathematiker 
in der Auffassung des Unendlichen als Gegensatz zweier ent 
gegengesetzter philosophischer Richtungen dar; er bezeichnet 
die Vertreter seiner Richtung als „Pragmatiker“, seine 
Gegner als „Cantorianer“. Dieser Gegensatz läßt sich 
nach seiner Ansicht dahin präzisieren; 
Dem Pragmatiker fließt das Unendliche aus dem End 
lichen; es gibt Unendliches, weil es eine unbegrenzte Zahl be 
grenzter möglicher Dinge gibt. Jeder Lehrsatz muß verifizier 
bar sein; wenn daher der Begriff des Unendlichen im Wort 
laut eines Lehrsatzes auftritt, so darf doch in der Verifikation 
davon nicht die Rede sein. 
Das Unendliche tritt nur auf, weil etwa kein Grund vor 
handen ist, einen Vorgang abzubrechen. Eine Menge existiert 
nicht von Anfang an, sondern sie vervollständigt sich fort 
während. Es sind nur Dinge zuzulassen, die sich durch eine