Das Unendliche in der Mathematik. Mengenlehre
begrenzte Zahl von Worten definieren lassen; daher gibt es
nureinemöglicheUnendlichkeitszahl, W 0 . Wenn
man sagt, die Mächtigkeit des Kontinuums ist größer als die
der ganzen Zahlen, so soll das nur heißen, es gibt keine mög
liche Zuordnung der Punkte des Kontinuums und der ganzen
Zahlen, die dagegen gesichert wäre, daß bei Neueinführung
von Elementen die Zuordnung verändert werden muß.
Die Pragmatiker verlangen direkte Definitionen und Postu
late, die keinen Widerspruch einschließen. Die Kenntnis der
Gattung gibt nicht Kenntnis der Individuen, diese sind nicht
vorhanden vor ihrer Definition. Poincare bezeichnet die
Pragmatiker als Idealisten. Sie sind der Ansicht, daß
ein Objekt nicht existiert, wenn es nicht gedacht wird und daß
man ein gedachtes Objekt nicht unabhängig von einem denken
den Subjekt erfassen kann. Für ein denkendesWesen
aber (ein endliches, dem Menschen ähnliches) kann das
Unendliche keinen andern Sinn haben als die
Möglichkeit, so viele Objekte ins Leben zu
rufen, als man will.
Für die Cantorianer ist das Unendliche vor dem End
lichen; dieses ist nur ein kleiner Ausschnitt aus dem Unend
lichen. Sie gehen von der Menge aus, in der alle Dinge bereits
vor unserer Überlegung bestehen; wir ordnen die Menge nur,
aber sie würde auch ohne das bestehen. Der Begriff der Kar
dinalzahl ist den Cantorianern nichts Wunderbares.
Statt der direkten Definition lassen sie Definitionen durch
Postulate zu. Da die Gattung G gegeben ist, kennen wir alle
ihre Individuen und die Definition hat nur den Zweck, unter
diesen Individuen die zu unterscheiden, die mit allen ihren
Genossen zusammen die ausgesprochene Beziehung haben. Die
Cantorianer sprechen immer von Erkenntnistheorie, also von
der Forschung über die Forschung, sie machen die Forschung
zum Gegenstand der Untersuchung ohne die Annahme, daß es
Forscher gibt. Die Natur ist ihnen eine Realität unabhängig
von dem Physiker, der sie erforscht.
Die Cantorianer sind Realisten: die materiellen
