a t i k 
Das Unendliche in der Mathematik. Mengenlehre 
351 
wird erst 
deine und 
latik auf- 
ülosopliie 
t werden, 
zwei Ge- 
em atik 
laß diese 
Formeln 
ist noch 
i der das 
r kommt, 
rspruchs- 
, schreitet 
aus den 
reis ihrer 
ßens. 
rspruchs- 
3 wesent- 
Prinzips 
Begrün- 
e Brücke 
undlagen 
n Anfor- 
werden. 
en Weyl- 
licht für 
matikern 
laupteten 
Zirkel nicht auf. Zur Einteilung der rationalen Zahlen (beim 
Dedekindschen Schnitt usw.) sei allerdings der Mengenbegriff 
notwendig; aber, wenn auch der allgemeine Mengenbegriff zu 
Paradoxien führte, so sei doch der Begriff der Menge der 
ganzen Zahlen korrekt. 
Zur Festlegung des Begriffs der reellen Zahl überhaupt ver 
langt Hilbert die axiomatische Methode. 
Das Kontinuum der reellen Zahlen ist dann ein 
System von Dingen, die durch bestimmte Beziehungen, Axiome, 
miteinander verknüpft sind. Insbesondere treten an die Stelle 
der Definition der reellen Zahl durch den Dedekindschen 
Schnitt die zwei Stetigkeitsaxiome, nämlich das Archi 
medische Axiom und das sog. V ollständigkeits- 
a x i o m. 
Dann können die Dedekindschen Schnitte zwar immer noch 
zur Festlegung der einzelnen reellen Zahlen dienen, aber sie 
dienen nicht zur Definition des Begriffs der reellen Zahl; diese 
ist vielmehr begrifflich eben als Ding unseres Systems fest 
gelegt. 
Hilbert meint, diese Begründung der Theorie des Kon 
tinuums stehe nicht im Gegensatz zur Erfahrung, denn der 
Begriff der extensiven Größe, wie wir ihn aus der An 
schauung entnehmen, sei ein selbständiger gegenüber 
dem Begriff der Anzahl; daher seien Anzahl und Maß 
zahl grundsätzlich zu unterscheiden. 
Zum Schluß wenden wir uns noch kurz der neuesten Arbeit 
„Über das Unendliche“ von D. Hilbert zu 477 ). 
D. Hilbert weist zunächst darauf hin, wie durch die kri 
tische Arbeit von Weierstraß eine feste Grundlage für die 
Analysis geschaffen und diese von den verschwommenen Vor 
stellungen über das Infinitesimale gereinigt wurde. Aber die 
Diskussion über die Grundlagen der Analysis sei noch nicht 
zum Abschluß gekommen, da die Bedeutung des Unend 
lichen für die Mathematik noch nicht restlos geklärt sei. 
Das unendlich Kleine und unendlich Große sei zwar aus der 
Weierstraßschen Analysis verschwunden und die dies be-