Das Unendliche in der Mathematik. Mengenlehre 
2. Durchweg dieselbe Sicherheit des Schließens herzustellen, 
wie sie in der gewöhnlichen niederen Zahlentheorie vor 
handen ist. 
Die Erreichung dieser Ziele ist aber nur möglich, wenn die 
volle Aufklärung über das Wesen des Unendlichen gelingt, 
meint Hilbert. In welcher Weise er dieses Ziel zu erreichen 
sucht, haben wir bereits im vierten Kapitel und im Voraus 
gehenden gestreift. Seine Theorie der Zahlen kommt auf eine 
weitgehende Formalisierung des mathematischen Verfahrens 
unter Einführung „idealer Elemente“ und „Aussagen“ und 
Heranziehung einer bestimmten Art des Logik-Kalküls hinaus. 
Als Grundrelationen, denen die betrachteten Gegenstände 
genügen müssen, stellt Hilbert fünf Axiomgruppen auf. Er 
gibt selbst zu, daß diese Axiome nicht ganz frei von Willkür 
seien, aber er will zeigen, daß sie genügen, um eine Beweis 
theorie zu begründen und das System der beweisbaren Sätze, 
d, h, die mathematische Wissenschaft aufzubauen. Einer Be 
dingung muß das Axiomensystem bei dieser Methode der An 
wendung idealer Elemente aber absolut notwendig genügen, es 
muß widerspruchslos sein. 
Den Nachweis der Widerspruchslosigkeit 
glaubt Hilbert erbringen und damit zugleich das Problem der 
Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome lösen zu 
können. Außerdem will er zeigen, daß seine Theorie nicht nur 
das leisten kann, was die bisherigen Theorien leisteten, son 
dern daß sie weittragender ist. Er legt das an dem Kon 
tinuumproblem dar, indem er zeigt, daß die Punkte einer 
Strecke durch die Zahlen der zweiten Zahlklasse auszählbar 
sind. 
Das Gesamtergebnis seiner Untersuchung faßt Hil 
bert dahin zusammen: „D a s Unendliche findet sich 
nirgends realisiert; es ist weder in der Natur 
vorhanden, noch als Grundlage in unserem 
verstandesmäßigen Denken zulässig.“ Als Vor 
bedingung für die Möglichkeit wissenschaftlicher Erkenntnis 
sind gewisse anschauliche Vorstellungen und Einsichten un- 
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