92 II- Kapitel. Die gebrochenen Zahlen, insbesondere die gemeinen Brüche.
man sowohl aus dem Zähler wie aus dem Nenner die n te Wurzel
zieht und das erste Ergebnis durch das zweite dividiert. Wenn h
nicht schon die n te Potenz einer ganzen Zahl ist, so läßt sich doch
stets eine ganze Zahl b' so finden, daß b • b' gleich der n t6n Potenz
einer ganzen Zahl ß wird.
Alsdann ist
Die Aufsuchung der n tea Wurzel eines Bruches läßt
sich also stets auf die Berechnung der n ten Wurzel aus einer
ganzen Zahl und auf eine Division durch eine ganze Zahl
zurückführen.
II. Wenn n und C beliebige ganze Zahlen bedeuten, so gibt es r
wie schon Kap. I, § 8 A gesagt, im allgemeinen keine ganze Zahl, die
gleich yC ist. Wir können uns jetzt leicht davon überzeugen, daß,
wenn keine ganze Zahl existiert, deren n te Potenz gleich C ist, es
auch keinen Bruch von dieser Eigenschaft geben kann. Hätte man
nämlich einen solchen, so könnte man ihn zunächst durch Heben mit
dem größten gemeinschaftlichen Teiler von Zähler und Nenner auf
die Normalform — bringen, in welcher p und q relativ prim sind
und q von 1 verschieden ist.
Nach Kap. I, § 11 A, lYb müßten dann aber auch p n und q n
teilerfremd sein, während aus
folgen würde, daß p n und q n den gemeinschaftlichen, von 1 verschie
denen Teiler q n besitzen. Die Annahme hat demnach auf einen Wider
spruch geführt. Durch die Einführung der Brüche ist also die Mög
lichkeit des Wurzelausziehens nicht erweitert worden.
III. Wir fügen noch einige Bemerkungen über die am häufigsten
vorkommende Wurzel, nämlich die Quadratwurzel hinzu. Wenn es
auch im allgemeinen keine ganze (und, wie soeben gezeigt, auch
keine gebrochene) Zahl gibt, deren Quadrat gleich einer beliebig
vorgelegten ganzen Zahl C ist, so haben wir doch Kap. I, § 10 G,
S. 46—48 ein Verfahren kennen gelernt, um die größte ganze Zahl a
zu bestimmen, deren Quadrat noch kleiner als C ist, in andern
Worten, wir können mittelst des erwähnten Verfahrens stets eine
ganze Zahl a so bestimmen, daß
a 2 <: C < {a + l) 2 -
