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Die erste der beiden letzten Ungleichungen ist selbstverständlich. 
Um uns von der Richtigkeit der zweiten zu überzeugen, schließen 
wir, daß aus G < {a + l) 2 zunächst folgt: 
und daraus wieder: 
G + 1 < (a + l) 2 
G = G + £<(« + l) 2 . 
Wenn also zwei benachbarte ganze Zahlen gefunden werden sollen, 
deren Quadrate eine gemischte Zahl C einschließen, so braucht man 
das Verfahren in Kap. I, § 10 Gr nur auf die in C enthaltene größte 
ganze Zahl G anzuwenden. Ähnlich wie vorher ergibt sich auch jetzt, 
daß, je nachdem der Rest 
auch 
Wenn R = a, so ist 
<a, 
C = G + £ ^ (a + D*. 
G + s = -f yj , je nachdem s = ■ 
Als Ergebnis der in diesem Abschnitt III angestellten Über 
legungen können wir die allgemeine Regel aussprechen: 
Wenn eine beliebige, ganze, gebrochene oder gemischte, 
Zahl C vorgelegt ist und zwei Zahlen gesucht werden, die 
sich nur um — unterscheiden (wo n eine beliebige Zahl be- 
deutet), und deren Quadrate die Zahl C einschließen, so 
wende man das in Kap. I, § 10 Gr gelehrte Verfahren auf die 
größte ganze Zahl G an, die in dem Produkte G • n 2 ent 
halten ist, und bestimme die ganze Zahl z so, daß 
Alsdann sind — und z ~' 1 die gewünschten Zahlen: ihr 
Unterschied kann durch hinreichend große Werte von n 
beliebig klein gemacht werden.