Die systematischen Brüche. 
§ 1. Definition und Schreibweise der systematischen Brüche. 
Ein besonderes Interesse und eine besondere Behandlung ver 
dienen diejenigen Brüche, deren Zähler eine systematische ganze Zahl 
(vgl. Kap. I, § 10) und deren Nenner eine Potenz der Grundzahl des 
Systems ist, also die Brüche von der Form 
~f~ a n-i9 fl 1 4~ • • • 4~ a i 9 + a o 
9 V ~9 V ’ 
wo a x < g für k — 0, 1, .. . g. 
Solche Brüche nennt man systematische, und wenn speziell g= 10, 
Dezimalbrüche. 1 * * * * * * ) 
1) Da die meisten Entwicklungen sich nahezu ebenso einfach für ein be 
liebiges g wie für g = 10 gestalten, lassen wir im allgemeinen g unbestimmt und 
werden nur bei Heranziehung von Beispielen den Fall g— 10 vornehmlich be 
rücksichtigen. Lange Zeit hindurch hat man auch tatsächlich systematische 
Brüche verwendet, bei denen g nicht gleich 10 w r ar. Die Babylonier legten dem 
systematischen Aufbau zunächst der ganzen Zahlen die Basis g — 60 zugrunde 
(vgl. S. 5, Anm. 1). Sie hatten besondere Wörter für 60 (soss) und für 60 8 (sar) 
und bildeten dann dementsprechend auch Unterabteilungen der Einheit mit 
diesen Nennern. Etwa um 180 v. Chr. fanden diese Sexagesimalbrüche Eingang 
in die griechische Wissenschaft, und die arabischen und christlichen Gelehrten 
bedienten sich derselben, namentlich für astronomische Rechnungen, während 
des ganzen Mittelalters, also in einer Zeit, wo 10 längst die Grundzahl des 
Systems der ganzen Zahlen geworden war. Daß eine solche Inkonsequenz un 
zweckmäßig sein mußte, ist klar. Nichtsdestoweniger dauerte es außerordentlich 
lange, bis der gänzliche Übergang von der sexagesimalen zur dezimalen Teilung 
vollzogen war. Noch im 15. Jahrhundert finden wir vielfach eine Vermischung 
beider Prinzipien, und erst gegen Ende des 16. Jahrhunderts wenden sich der 
Franzose François Viète in seinem Canon mathematicus (1579), der Holländer 
Simon Stevin in seiner Schrift La Disme (1585) und der Deutschschweizer 
Joost Bürgi in seiner Arithmetica (1592) entschieden und endgültig den Dezimal 
brüchen zu. Die Schreibweise derselben kommt bei diesen Autoren der jetzt 
üblichen schon ziemlich nahe. Ausführlicheres hierüber siehe bei Cantor, Vor 
lesungen II, S. 583, S. 615—617 und bei J. Tropfke, Geschichte der Elementar 
mathematik I, S. 86—93. Die schon von Simon Stevin als Konsequenz des 
dekadischen Zahlensystems geforderte dezimale Teilung der Maße, Münzen und 
Gewichte wurde zuerst in Frankreich (durch Dekret vom 24. Juli 1799) eingeführt. 
Nachdem einige andere Länder sich diesem Maßsystem schon früher angeschlossen