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§ 2. Vergleichung der systematischen Brüche. 
offenbar die höchste in den gegebenen Nennern verkommende Potenz 
von g ist, lassen sich systematische Brüche außerordentlich leicht, 
nämlich durch bloßes Anhängen von Nullen, gleichnamig machen. 
Mit gleichnamigen Brüchen darf aber wie mit ganzen Zahlen ge 
rechnet werden; man kann eben während der Rechnung die Beziehung 
zur Haupteinheit außer acht lassen und die gleichnamigen Brüche als 
durch Abstraktion aus einander gleichwertigen Dingen entstanden auf 
fassen. Daß die systematischen Brüche den ganzen Zahlen so nahe 
stehen (so daß in manchen Lehrbüchern statt Dezimalbrüche aus 
drücklich Dezimalzahlen gesagt wird), ist der Hauptvorteil dieser 
Brüche und der Grund, weshalb das Rechnen mit ihnen so bequem ist. 
§ 2. Vergleichung der systematischen Brüche. 
A. Jeder systematische Bruch, welcher keine Ganzen enthält, 
i 
a = ■— h 
..v — u 1 * 
V-i 
-tu-l) 
+ 
4_ _L _o 
V — 1 * 1 
9 9 
0 > p), 
ist kleiner als 1, also ein echter Bruch. Denn führt man die Addition 
der Brüche aus, so folgt aus Kap. I, § 10 A, S. 36, daß in 
a ,u g“ + a,u~ i g u 1 4~ • • • ~b a i 9 + a o 
9 V 7 
weil v > g, der Zähler kleiner als der Nenner ist. 
B. Zwei echte systematische Brüche a und ß können wir uns in 
Brüche mit dem gemeinschaftlichen Nenner g v verwandelt denken: 
_ CT i»ff'“ a n-i9^ 1 4~ • • • ~b a i 9 4~ a o _ A 
9 V 9 V ’ 
o Vff 1 “ + ^-iff*“ 1 ~b 1~ ff + 
P ~ 9 V ff'' 7 
wo natürlich einzelne a und einzelne h Null sein dürfen. 
Nach Kap. I, § 10 A sind die beiden Zähler A und B, also auch 
die Brüche a und ß dann und nur dann einander gleich, wenn jedes 
a gleich dem h mit demselben Index ist. Ein Bruch läßt sich also 
auf nicht mehr als eine Art in systematischer Form mit der Grund 
zahl g darstellen 1 ), wenn man von den Nullen absieht, die man jedem 
systematischen Bruch, ohne seinen Wert zu ändern, anhängen darf. 
1) Wir sprechen vorläufig nur von systematischen Brüchen, die aus einer 
endlichen Zahl von Gliedern bestehen.