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III. Kapitel. Die systematischen Brüche. 
Umgekehrt, wenn sich eine Potenz von g, etwa die p te , so an 
geben läßt, daß zgQ ein Vielfaches von n ist, so kann man setzen: 
also gleich einem systematischen Bruche. 
Der Quotient a : ß — — läßt sich also in einen systematischen 
Bruch mit der Grundzahl g dann und nur dann entwickeln, wenn eine 
Potenz von g, g$, existiert, für welche das Produkt zg$ durch n 
teilbar ist. Nach Kap. I, § 11 A, IV a ist, weil z und n relativ 
prim, hierfür aber hinreichend und notwendig, daß gQ ein Vielfaches 
von n ist, was dann und nur dann zutrifft, wenn n keine Primfaktoren 
besitzt, die nicht auch in g Vorkommen. Für g = 10 muß mithin 
n von der Form 2 Vi • 5 V2 sein, wo v 1} v 2 irgendwelche ganzen Zahlen 
(Null eingeschlossen) bedeuten. 
Um in dem Falle, daß es eine Potenz von g gibt (die niedrigste 
sei die p te ), deren Produkt mit z durch n teilbar ist, — wirklich in 
> 7 y) 
n 
einen systematischen Bruch zu entwickeln 1 * ), dividiere man nach dem 
Kap. I, § 10 F angegebenen Verfahren z durch n, wobei man den 
Quotienten q 0 (> 0) und den Rest r 0 (< n) erhalten möge, so daß 
8 = Qo n + r o 
oder 
2 I *0 
~ 
n ^ n 
Man setze weiter — = — • und berechne r n q : n, d. h. man 
n n n 7 
n g n 
hänge an den Rest r 0 eine Null und dividiere die dann entstehende 
Zahl r 0 g durch n. Wenn diese Division den Quotienten <?i (0 < < #) 
und den Rest r x (< n) liefert, so wird 
und 
1 r, 
9 n 
An den Rest r x hänge man abermals eine Null und dividiere die 
entstehende Zahl r x g wieder durch n, wobei man erhalten möge: 
1) Für diese Entwicklung ist es gleichgültig, ob z und n einen gemein 
schaftlichen Teiler haben oder nicht.