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III. Kapitel. Die systematischen Brüche. 
wie diese Differenz kann aber nur dann kleiner als eine beliebig klein 
zu wählende Größe sein, wenn sie den Wert Null hat. Damit ist 
gezeigt, daß tatsächlich P = — • 
In bezug auf das Rechnen mit den unendlichen periodischen 
systematischen Brüchen verweisen wir auf die bei den geometrischen 
Reihen S. 113 gemachte Bemerkung. Aus dem daselbst angegebenen 
Satze folgt sofort, daß man auch einen unendlichen periodischen 
systematischen Bruch mit einer Potenz g a der Grundzahl multipliziert 
(bezüglich durch dieselbe dividiert), indem man das Gleiche mit jeder 
einzelnen Stelle tut, in der abgekürzten Schreibweise das Komma also 
a Stellen nach rechts (bezüglich nach links) rückt. 
In der Gleichung 
/ — , Qs , Qt 
9o, <h • • • Qs 9 S + 1 • • • ^ g °+ 7 + 
liegt bereits die Lösung der Aufgabe, einen beliebigen periodischen 
unendlichen systematischen Bruch in einen gewöhnlichen zu ver 
wandeln. Um eine bequem anwendbare Regel formulieren zu können, 
nehmen wir an, daß der systematische Bruch Ganze nicht enthält 
(also ^0=0), und unterscheiden zwei Fälle: 
1. Der systematische Bruch sei rein-periodisch, also s = 0. Dann 
wird 
Vi 
9i9n 
St'" 
d. h. jeder rein-periodische systematische Bruch ist gleich einem 
gewöhnlichen Bruche, dessen Zähler die als systematische Zahl ge 
schriebene Periode bildet, und dessen Nenner eine systematische Zahl 
ist, in welcher jede einzelne Ziffer gleich g — 1 und die Anzahl der 
Ziffern gleich der Anzahl der Stellen einer Periode ist, z. B. für 
g = 10 
/WWT 324 12 
Da 
0/324 
Qt = 9 S +i9 t_1 + 9 S +29 ( ~ 2 + • * • + <L+t-r9 + 9,+t 
i<2s+r < 9 ~ 1 , für r = 1, 2, .. . t) 
und 
9* — 1 = 0 — 1 )g t ~ x + 0 — !y -2 + • * 
so ist stets 
Qt<f- i. 
Das Gleichheitszeichen gilt nur, wenn 
+ (g- l)g + (g- 1), 
9.S + 1 9s + 2 9s+t-1 9s + t 9