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III. Kapitel. Die systematischen Brüche. 
Stellen kleiner ist als eine Einheit der letzten beibehaltenen Stelle. 
Zu dem Zwecke vergleichen wir den vorgelegten unendlichen syste 
matischen Bruch mit einem andern, P', welcher in den ersten q Stellen 
mit dem gegebenen übereinstimmt, in allen folgenden Stellen aber 
die Ziffer (g — 1) hat, dessen Wert demnach 
P'=g 0 , 1) 
ist. Bezeichnet q a+1 in P die erste Ziffer hinter welche eine 
Periode beginnt, so denken wir uns P in den endlichen Teil 
9o, 9i9z • • • 9 Q 9 Q + i 
und in den unendlichen 
Qt I Qt _i_ 
a+ t ' na + zt * 
gO + t ‘ g(T + 2 t 
zerlegt, und entsprechend auch P' in 
(a Stellen) 
9o, 9i9z • • • 9 Q {9 — 1) • • • (9 — 1) + (ßh + H ) r 
wo Qf aus Q t hervorgeht, indem jede Periodenziffer durch g — 1 er 
setzt wird. 
Nun ist 1. 
((? Stellen) 
9o, «1 • • • 9 Q 9 Q +i-- • 9 a <9 0 , 9i • • • - 1) • • • (9 - 1) 
und 2. 
Qt 1 Qt , ^ Qt 1 Qt 1 
weil beide geometrische Reihen denselben Quotienten haben, das An 
fangsglied der ersten aber kleiner ist als das der zweiten; folglich 
p< p; 
also tatsächlich 
Aus diesen Ungleichungen können wir zunächst den Schluß 
ziehen, daß auch zwei unendliche periodische systematische 
Brüche nur dann einander gleich sein können, wenn sie in 
je zwei entsprechenden Stellen übereinstimmen, mit Aus 
nahme des Falls, daß die Periode des einen nur aus der Ziffer (g—1) 
besteht. 
In den beiden unendlichen systematischen Brüchen 
P = 9o, 9i9% • ■ • 9 q 9o + i - • •> 
P '= 9o, 9i9z- • • 9 q 9q + 1 • • •