§ 4. Umwandlung eines gewöhnlichen Bruches in einen systematischen Bruch. 119 
mögen die ganzen Zahlen, sowie die q ersten Stellen entsprechend 
einander gleich, dagegen 
sein. Dann ist 
wo P e ' + 1 den endlichen systematischen Bruch q 0 , q 1 q 2 . .. q Q q^ + 1 be 
zeichnet, also auch 
nun ist aber 
folglich 
P'>P. 
Die beiden unendlichen systematischen Brüche sind also vonein 
ander verschieden, sobald sie in irgend einer Stelle voneinander ab 
weichen, und zwar hat der den größeren Wert, bei welchem die erste 
abweichende Stelle die größere ist. Der Satz gilt nicht mehr, wenn 
die Periode des einen der beiden systematischen Brüche die Ziffer 
g — 1 ist. So hat man z. B. für g = 10 
0,235 7 9 • • • = 0,236 y 0 
Wir brauchen diesen Ausnahmefall nicht weiter zu berücksichtigen, 
wenn wir jeden systematischen Bruch mit der Periodenziffer (g—1) 
durch den ihm gleichen endlichen systematischen Bruch ersetzen, und 
dann können wir aus dem Satze die Folgerung ziehen, daß man einen 
gewöhnlichen Bruch nur auf eine einzige Art in einen systematischen 
Bruch mit gegebener Basis verwandeln kann. 
Aus den Ungleichungen (S. 118) 
■ergibt sich weiter, daß, wenn ein vorgelegter gewöhnlicher Bruch 
auch keinem endlichen systematischen Bruche mit der Grundzahl g 
gleich ist, doch stets zwei p-stellige systematische Brüche angegeben 
größerung von q beliebig klein gemacht werden kann. Diese Ersetz 
barkeit eines beliebigen gewöhnlichen Bruches durch einen endlichen 
systematischen folgt übrigens auch schon aus den Entwicklungen 
S. 104 und 105, speziell aus der Gleichung 
wo r < n.