§ 5. Periodenlänge eines periodischen systematischen Bruches.
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daß die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient zweier
unendlichen systematischen Brüche sich von den entsprechenden Ver
bindungen der annähernd gleichen endlichen systematischen Brüche
nur um Beträge unterscheiden, die durch hinreichend große Werte
von q beliebig klein gemacht werden können. Wie groß q mindestens
zu wählen ist, damit diese Beträge unterhalb gegebener Zahlen bleiben,
untersuchen wir genauer in § 8 B dieses Kapitels.
§ 5. Beziehung der Periodeulänge eines periodischen systematischen
Bruches zum Kenner des ihm gleichen gewöhnlichen Bruches.
Unter „Länge“ oder auch „Größe“ (bei Gauß „magnitudo“) der
Periode Tersteht man die Anzahl der Ziffern, aus denen sie besteht,
also die Zahl, die wir § 4 stets mit t bezeichnet haben.
Damit der Bruch dessen Zähler und Nenner von etwaigen
gemeinsamen Teilern schon befreit seien, überhaupt einen periodischen
systematischen Bruch liefere, ist hinreichend und erforderlich, daß n
Primfaktoren besitze, die in der Grundzahl g nicht Vorkommen (§ 3,
S. 104 und § 4, S. 108).
Der Fall, daß n sowohl Primfaktoren enthält, die in g Vorkom
men, als auch solche, die in g nicht auftreten, läßt sich leicht, wie
wir zunächst zeigen wollen, auf den Fall zurückführen, daß der Nenner
keinen Primfaktor mit g gemeinsam hat.
Es sei
n — y • v,
wo y das Produkt derjenigen Primzahlen bedeutet, die auch in g ent
halten sind, und v zu g relativ prim ist.
Die niedrigste Potenz von g, welche durch y teilbar ist, sei die
« te und g a = y' ■ y. Indem wir jetzt z < n und teilerfremd zu n vor
aussetzen, erhalten wir
z z ■ y'
n g a • v
Die Division von z • y durch v ergebe den Quotienten q und
den Rest z Q , also
* • y' = q • v + z 0 ,
wo q Null oder eine ganze Zahl bedeutet, die, weil z < n, kleiner als
g a ist, und wo z 0 < v.
Weil n relativ prim zu z, ist auch v zu z relativ prim, v ist
aber auch teilerfremd zu y'- denn y enthält nur Primfaktoren, die
auch in g Vorkommen. Aus der letzten Gleichung folgt deshalb, daß
