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III. Kapitel. Die systematischen Brüche. 
auch z 0 und v keinen gemeinsamen Teiler besitzen. Dividieren wir 
diese Gleichung durch g a ■ v, so ergibt sich: 
jL = ± , JL. «o 
n g a ‘ g a v 
d. h. der vorgelegte Bruch — ist darstellbar als Summe eines end 
lichen (nämlich a-stelligen) systematischen Bruches und des (g a ) tou 
Teiles eines echten Bruches —, in welchem der Nenner v sowohl 
V 7 
zum Zähler z Q wie zur Grundzahl g teilerfremd ist. Wir brauchen 
deshalb behufs Untersuchung der Periode nur von einem Bruche 
dieser letzteren Art auszugehen, den wir aber im folgenden wieder 
mit — bezeichnen wollen. 
Das Divisionsverfahren, mittels dessen wir — in einen systema 
tischen Bruch verwandelten, führte zu den Gleichungen (vgl. § 3, S. 104 
und § 4, S. 109): 
^ + r 0 , 
»o 9 = Mt + r i, 
9 = m-2 + r 2> 
r 2 g = nq 3 + r 3 usw. 
Da jetzt z < n, folgt aus der ersten Gleichung g 0 = 0 und r 0 = z. 
Die übrigen Gleichungen schreiben wir als Kongruenzen für den Mo 
dul n (vgl. Kap. I, § 12 A, S. 58): 
r t = r 0 g; r 2 = r x g-, r 3 = r 2 g usw. (mod ri). 
Setzen wir den Wert von r 0 in die erste Kongruenz, den von r x in 
die zweite usw. ein, so erhalten wir 
(mod ri). 
r n = 0\ r. 
zg, r 2 = zg 2 , r 3 = zg 3 usw. 
Die bei unserem Divisionsverfahren übrigbleibenden Reste r 0 ,r x ,r 2 ,r 3 ,..., 
die ja sämtlich kleiner als n sind, stellen also die kleinsten Reste der 
Zahlen 
zf, zg 1 , zg*, zg 3 usw. 
für den Modul n dar. Weil nach unserer Voraussetzung z und g re 
lativ prim zu n, sind es auch alle diese Reste. Die Anzahl der von 
einander verschiedenen unter ihnen kann also nicht größer als cp(ri) 
sein, wo cp(ri) die Kap. I, § 12 B definierte Bedeutung hat. Wie nun 
schon Kap. I, § 12 C gezeigt, sind unter den Resten der aufeinander 
folgenden Potenzen von g wirklich voneinander verschieden die Reste 
yon g , 
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