von g°, g 1 , g 2 , . . . g t ~ 1 , wenn g zum Exponenten t für den Modul n 
gehört, d. h., wenn die t te Potenz von g die niedrigste ist, für welche 
g* = 1 (mod и). Man erkennt leicht, daß unter derselben Voraus 
setzung in bezug auf t auch die Reste von zg°, zg 1 , zg 2 , . . ., zg** 1 , 
d. h. die Zahlen r 0 , r t , r 2 , . . . r t _ 1} voneinander verschieden sind, 
während zg { ^zg° (mod я), also r t = r 0 . 
Die § 4 (S. 109 u. 110) definierte Zahl t ist also gleich dem Ex 
ponenten t, zu welchem g für den Modul n gehört, und die daselbst 
eingeführte ¿ahl s hat hier den Wert Null, so daß wir den Satz 
.aussprechen können: 
Wenn n relativ prim zu z und zu g, und wenn £ < w, so 
ist der Bruch gleich einem echten rein-periodischen sy 
stematischen Bruche mit der Grundzahl g, dessen Perioden 
länge gleich dem Exponenten t ist, zu welchem g für den 
Modul n gehört. 
Die Periodenlänge ist also unabhängig von dem Zähler des Bruches, 
deshalb für alle Brüche mit dem gleichen Nenner dieselbe. 
Aus den Auseinandersetzungen im Anfänge dieses Paragraphen 
(S. 121) folgt nunmehr, daß, wenn n sowohl Primfaktoren enthält, 
die in g Vorkommen, als auch solche, die in g nicht auftreten, und 
wenn y, v, a dieselbe Bedeutung haben wie S. 121, der Bruch ~ 
einem gemischt-periodischen systematischen Bruche gleich ist, dessen 
Yorperiode a Ziffern besitzt, und dessen mit der (a + l) ten Stelle be 
ginnende Periode vollkommen durch den zu g teilerfremden Faktor v 
von n bestimmt ist. 
Nach Кар. I, §12 0 ist der Exponent t entweder gleich cp{n) 
oder gleich einem Teiler von cp(n). Will man die Periodenlänge des 
einem Bruche ~ gleichen systematischen Bruches finden, ohne die 
(bei einigermaßen großem Nenner sehr mühselige) Division z : n aus 
zuführen, so hat man also zu untersuchen, welches der kleinste Teiler t 
von rp(n) ist, für welchen g* = 1 (mod w), und zu diesem Zwecke 
wirklich die kleinsten Reste aller derjenigen Potenzen von g zu 
bilden, deren Exponenten Teiler von <p(w) sind. So folgt z. B. für 
g = 10 aus den Kongruenzen 
10 1 = 1 (mod 3), 
10 1 = 3, 10 2 == 2, 10 3 = 6, 10 6 = 1 (mod 7), 
10 1 = 10, 10 2 == 1 (mod 11), 
10 1 = 10, 10 2 = 9, 10 3 = 12, 10 6 = 1 (mod 13),