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III. Kapitel. Die systematischen Brüche.
daß dem Nenner 8 die Periodenlänge 1, dem Nenner 11 die Perioden
länge 2, den Nennern 7 und 13 die Periodenlänge 6 entspricht.
Erleichtert und abgekürzt wird die Arbeit, namentlich für den
Fall, daß der Nenner eine Primzahl p, t also gleich p — 1 oder
gleich einem Teiler von p — 1 ist, durch gewisse Sätze und Metho
den der Zahlen theorie 1 ), auf die einzugehen aber nicht im Plane
dieses Buches liegt. Näheres hierüber findet man bei Joseph Mayer,.
Über die Größe der Periode eines unendlichen Dezimalbruches, Pro
gramm der Königlichen Studienanstalt Burghausen für clas Schuljahr
1887/88, München 1888, und bei H. Bork, Periodische Dezimalbrüche,.
Programmabhandlung des Prinz-Heinrich-Gymnasiums zu Berlin 1895.
Dieser letzteren Arbeit ist als Anhang beigefügt eine von P. Keßler
berechnete Tabelle, welche die Periodenlängen aller Primzahlen unter
100000 enthält. Kennt man die irgend welchen Primzahlen ent
sprechenden Periodenlängen, so läßt sich, wie wir nunmehr zeigen
werden, leicht die Periodenlänge für jeden Nenner bestimmen, welcher
das Produkt aus beliebigen Potenzen dieser Primzahlen ist. Es sei
zunächst der Nenner eine Primzahlpotenz p m .
Wenn die t te Potenz von g die niedrigste ist, für welche g* = 1
(mod^f), so kann möglicherweise g t — 1 nicht nur durch p, sondern
auch durch eine höhere Potenz von p teilbar sein. Ist pt L die höchste
Potenz von p, welche in g t — 1 aufgeht, so daß also für p u und für
alle niedrigeren Potenzen von p die Zahl g zum Exponenten t ge
hört, so behaupten wir, es gehört g für den Modul p m , falls m^g r
zum Exponenten t -p m ~t l . Nach unserer Voraussetzung ist
g*= i + hp 1 ,
wo Je eine ganze Zahl bedeutet; infolgedessen
g 2t = 1 -J- 2Jcpt l +
g 3t = 1 -f- 3Jcpf* + 3Jc 2 p 2 t l -\- Jc 3 p 5 ,u usw.
Da
2 g g + 1,
können wir schreiben:
g* = 1 -(- Jcpv |
g 2t = 1 -f- 21cp‘ u i (modp'" + 1 ).
g 3t = 1 + 3Jip u I
1) Nämlich die Lehre von den quadratischen, kubischen, biquadratischen
usw. Resten einerseits und die Theorie der Indices andererseits (unter Benutzung
einer Indextabelle, wie sie in dem von Jacobi 1839 herausgegebenen Canon
arithmeticus enthalten ist).
