§ 8 JS, I—III. Abgekürzte Addition, Subtraktion u. Multiplikation. 141 
Stelle ausmacht. Dagegen können wir mit Sicherheit behaupten, daß, 
wenn wir jedem Summanden (vorausgesetzt, daß ihre Anzahl nicht 
größer als 20 ist) zwei Überstellen geben und nach der Addition die 
(m + 2) stellige Summe auf m Stellen reduzieren, der Fehler auf jeden 
Fall kleiner ist als also a fortiori kleiner als eine Einheit der 
letzten heibehalteuen Stelle. 
II. Für die Subtraktion gilt dasselbe wie für die Addition. 
III. Multiplikation. 
Die zu lösende Aufgabe besteht darin, zwei Dezimalzahlen Ä, B, 
deren jede bis auf beliebig viele Stellen ermittelt werden kann, so 
miteinander zu multiplizieren, daß das Produkt eine vorgeschriebene 
Anzahl (m) Stellen mit einem möglichst kleinen Fehler enthält, und 
daß jeder für die gewünschte Genauigkeit unnütze Rechnungsaufwand 
vermieden wird. Die Multiplikation wird (I. Kap., § 10 E u. III. Kap., 
§ 3 C) ausgeführt, indem man den Multiplikanden A mit den einzelnen 
Ziffern des Multiplikators B multipliziert und die erhaltenen Teil 
produkte addiert. Da man den Stellenwert der einzelnen Ziffern eines 
Produktes am schnellsten übersieht, wenn man mit Einern multipliziert, 
so ist es zweckmäßig, die beiden gegebenen Zahlen A, B zunächst 
so umzuformen, daß der Multiplikator B gerade eine Stelle vor dem 
Komma hat. Man erreicht das, indem man in der ursprünglichen 
Zahl B das Komma eine Anzahl Stellen nach rechts oder links rückt 
und, um den Wert des Produktes nicht zu ändern, im Multiplikanden A 
es um ebenso viele Stellen in der entgegengesetzten Richtung verschiebt. 
Das Endresultat ergibt sich durch Addition so vieler Teilprodukte, 
wie wir Ziffern des Multiplikators für die Rechnung verwendet haben. 
Da bei dieser Addition sich die Fehler der Teilprodukte sämtlich 
addieren können, so müssen wir, um das Gesamtprodukt auf m Dezi 
malstellen mit einem möglichst kleinen Fehler zu erhalten, die Teil 
produkte auf mehr als m, etwa m -f- t u Stellen (vgl. I, Addition) be 
rechnen, wo [i einen noch zu bestimmenden Wert hat. Gäbe man 
nun beim Beginn der Rechnung dem Multiplikanden auch gerade nur 
m Stellen hinter dem Komma, so könnte im ersten Teilprodukte, 
das durch Multiplikation mit den Einern des Multiplikators erhalten 
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wird, der Fehler im ungünstigsten Falle 1Q „i +At • 9 = 4,5 Einheiten der 
(m -ff p,) ten Stelle betragen. Um diesen Fehler zu verkleinern, brechen 
wir den Multiplikanden erst nach der (m -f- p, -j- ¿a') ten Stelle (natür 
lich immer unter event. Erhöhung der letzten beibehaltenen Stelle) 
ab, so daß die Fehlergrenze des entstehenden Produktes 
4,5 l 
10“' io m + <“