144 JiJ. Kapitel. Die systematischen Brüche. 
Stellen besitzen. Man beginnt die Multiplikation mit der 
ersten Stelle, den Einern, des Multiplikators und reduziert 
das erhaltene, zunächst (m + 3) stellige, Teilprodukt sofort im 
Kopfe auf (m + 2) Dezimalen. Man kürzt sodann den Multi 
plikanden, eventuell unter Erhöhung der letzten Ziffer, 
auf (m -f 2) Stellen und multipliziert mit der ersten De 
zimale des Multiplikators; das erhaltene Produkt reduziert 
man sofort wieder auf m -f 2 Stellen. So fährt man fort, bis 
man mit allen aufgeschriebenen Ziffern des Multiplikators 
multipliziert hat. Addiert man darnach die erhaltenen 
(m -j- 2) stelligen Teilprodukte und kürzt zum Schluß die 
Summe auf m Stellen, so hat man den gewünschten Wert des 
Produktes bis auf einen Fehler, welcher sicher kleiner ist 
als eine Einheit der w ten Stelle. 
Ordnet man die Rechnung so an, daß man die erste Stelle des 
Multiplikators unter die letzte des Multiplikanden schreibt, die zweite 
Stelle unter die vorletzte usw., so hat man bei Bildung der Teil 
produkte immer mit der Stelle des Multiplikanden zu beginnen, die 
genau über der betreffenden Stelle des Multiplikators steht. 
IY. Division. Die Zahlen P und A seien bis auf beliebig viele 
Dezimalen angebbar. Es soll der Quotient P: A mit einer vor- 
geschriebeuen Anzahl (n) von Dezimalen so bestimmt werden, daß 
einerseits der Fehler der n stelligen Dezimalzahl möglichst klein ist 
und andrerseits jeder unnütze Rechenaufwand vermieden wird. Zur 
Erleichterung der Fehlerbestimmung setzen wir in A das Komma 
hinter die erste von Null verschiedene Ziffer; natürlich muß dann in 
P das Komma um die gleiche Anzahl Stellen in demselben Sinne 
verschoben werden. In dem so veränderten Dividenden behalten wir 
n -j- 2 Dezimalstellen bei. Die Untersuchung wird nämlich zeigen, 
daß eine geringere Anzahl von Stellen die Genauigkeit beeinträchtigen, 
eine größere Anzahl aber unnötig sein würde. Es sei dementsprechend 1 ) 
P-P m '^ m + P m -i • 10 m ~ 1 + ---+p 1 - 10+i? 0 
I P\ | Pi I I Pn I Pn+ 1 I Pn + S 
"r 10 ' 10 2 “ t “ ‘ ‘ ' _r 10" ' r 10” + 1 " r 10” + 3 ’ 
1) Enthält der Dividend keine Ganzen, ist er etwa von der Form 
{v Nullen) 
0, 0 ... 0 K + iK + 2 •••, 
so kann man das 10 v+1 fache des Dividenden p' v + 1 , p' v +e. ••• durch denselben 
Divisor teilen, den Quotienten auf n — ly -j- 1) Stellen bestimmen und zum Schluß 
durch 10 v + 1 dividieren.