IV. Kapitel. 
Die relativen Zahlen. 
§ 1. Definition der relativen Zahlen. 
Die natürlichen Zahlen haben wir (Kap. I, § 1) definiert, indem 
wir von Mengen ausgingen, deren sämtliche Elemente für den im 
Vordergründe unseres Interesses stehenden Zweck als gleichwertig an 
gesehen werden dürfen, die gebrochenen Zahlen (Kap. II, § 1), indem 
wir Mengen betrachteten, zwischen deren Elementen die Beziehung be 
stand, daß für den betreffenden Zweck ein gewisses Vielfaches irgend 
eines Elements einem bestimmten Vielfachen irgend eines andern Elements 
gleichwertig ist. In beiden Fällen konnten wir die Menge durch 
eine Zahl und einen Gattungsnamen vollkommen genügend kenn 
zeichnen. Wenn nun zu der Menge noch andere Elemente hinzutreten, 
die zwar untereinander, aber nicht zu den zuerst genannten in der 
angegebenen Beziehung stehen, so brauchen wir zu der Beschreibung 
der Menge im allgemeinen zwei Zahlen und zwei Gattungsnamen. 
Häufig treten in den Anwendungen der Arithmetik insbesondere solche 
Mengen auf, deren Elemente in zwei Gruppen derart zerfallen, daß 
jedem Elemente der einen Gruppe ein bestimmtes der andern ent 
gegengesetzt ist, das soll heißen: das gleichzeitige Auftreten dieser 
beiden entsprechenden Elemente ist für den in Betracht kommenden 
Zweck gleichbedeutend mit dem Nichtvorhandensein beider. Es mögen 
zunächst einige Beispiele solcher Mengen angeführt werden: 
1. Die Veränderungen im Vermögen einer Person bilden eine Menge, 
als deren Elemente wir Vielfache und Bruchteile von Mark Ein 
nahme wie Vielfache und Bruchteile von Mark Ausgabe betrachten 
können. Wenn es nur auf den schließlichen Vermögensstand an 
kommt, so heben sich irgend ein Vielfaches oder ein Bruchteil 
von Mark Einnahme in dem erwähnten Sinn gegen das gleiche 
Vielfache bezüglich den gleichen Bruchteil von Mark Ausgabe auf. 
2. Kann sich ein materieller Punkt auf einer geraden Linie von 
einem Anfangspunkte aus nach beiden Seiten bewegen, so bilden 
die Vielfachen und Bruchteile von Metern Bewegung nach der 
einen und nach der andern Seite hin eine Menge, in welcher, 
wenn es nur auf die schließliche Entfernung vom Anfangspunkte