§ 5. Multiplikation. 
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zurückzugehen ; so gelten alle diese Formeln jetzt auch für die Rechen 
operation, durch welche die mit a • ß bezeichnete Zahl aus cc und ß 
entsteht. Wir brauchen deshalb beim Rechnen mit dem Symbol 
a • ß nicht zu unterscheiden, ob a und ß absolute oder relative Zahlen 
sind; dadurch rechtfertigt sich die Wahl des Zeichens a • ß für die 
in der beschriebenen Art aus a und ß entstehende Zahl, sowie der 
Name Produkt, den wir dieser Zahl a- ß, und der Name Multiplikation, 
den wir der Rechenoperation, durch welche sie entstanden ist, 
jetzt auch beilegen wollen. Daß bei keiner andern Definition' des 
Symbols a • ß die Multiplikationsgesetze gültig bleiben, ist leicht zu 
erkennen. 
Durch wiederholte Anwendung des distributiven Gesetzes (vgl. 
Kap. I, §5 0) ergibt sich die allgemeinere Formel: 
( a i + a 2 + ’ ' ' + a m)(ßi H H ßJ = a ißi + a ißi + * * * + a rn ßt 
+ 
+ a l ßn+ ß 2^n+ • • • + a mßn’ 
in Worten: Zwei Summen relativer Zahlen werden mitein 
ander multipliziert, indem man jeden Summanden der einen 
mit jedem Summanden der andern multipliziert und die er 
haltenen Produkte addiert. In diesem Satze sind als Spezialfälle 
die Formeln Kap. I, §5 0, I—VI enthalten, wenn man die daselbst 
auftretenden Differenzen als algebraische Summen auffaßt. So er 
möglicht es uns also auch hier die Einführung der relativen Zahlen, 
mehrere Formeln zu einem einzigen Satze zusammenzufassen. 
B. Ungleichungen. 
I. Es sei 
ß>y, d. h. ß — y + p, 
wo p eine positive Zahl bedeutet. Für irgend eine relative Zahl cc 
ist dann 
cc-ß = cc'(y+p) — cc-y + cc-p. 
Wenn nun cc positiv, so ist auch cc • p positiv, also aß > ay- 
wenn aber a negativ, dann ist a • p negativ, deshalb aß < ay. Eine 
Ungleichung darf man also ohne weiteres mit einer positiven Zahl 
multiplizieren, mit einer negativen nur daun, wenn man die Zeichen 
„größer“ und „kleiner“ miteinander vertauscht. Sind a und p beide 
von Null verschieden, so kann auch a-p nicht Null sein. Wenn 
also a nicht gleich Null ist und ß und y voneinander verschieden 
sind, so haben sicher auch aß und ay ungleiche Werte, woraus wir