§ 1 A. Permutationen. 
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liehen Zahlen von 1 bis n mit n\, gelesen: n Fakultät 1 ), so daß wir 
unser Ergebnis in der kurzen Form 
1. P n = n - 
darstellen können. Mit wachsendem n nimmt die Zahl n\ sehr schnell 
zu. Es ist 
2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 
7! = 5040, 8! = 40 320, 9! = 362 880, 10! = 3 628 800 usw. 
Fassen wir nicht mehr alle n Elemente als ungleichartig auf, 
sehen wir vielmehr n x der Elemente (n x < n) als gleich an, so 
sind alle die Permutationen nicht mehr voneinander verschieden, 
welche sich nur in der Aufeinanderfolge dieser n x Elemente unter 
scheiden, während die übrigen n — n i dieselbe Stelle innehaben; je 
n t \ Permutationen reduzieren sich also auf eine, und die Anzahl der 
voneinander verschiedenen beträgt nur noch Werden jetzt noch 
n 2 weitere Elemente (n x + n 2 <i n) als einander gleich betrachtet, so 
fallen wieder je n 2 \ Permutationen in eine zusammen, nämlich die, 
welche sich nur durch die Stellung dieser n 2 Elemente unterscheiden; 
die Anzahl der voneinander verschiedenen Permutationen wird also 
Erklärung: Eine Vertauschung von nur 2 Elementen in einer 
Permutation wird eine Transposition genannt. 
3. Satz: Von jeder Permutation von n Elementen kann 
man durch höchstens (n — 1) Transpositionen zu einer be 
liebigen andern Permutation derselben Elemente gelangen. 
Beweis: Stimmen die beiden Permutationen I und II etwa in 
den v ersten Elementen (0 v < n) überein, aber nicht mehr im 
(v -j- l) ten , so vertausche man in I das (y -f- l) te Element mit dem 
jenigen unter den letzten (n — v) Elementen, welches in II an der 
(v -\- l) ten Stelle steht. Auf diese Weise kommt man von I zu einer 
Permutation P, welche mit II in den (v 1) ersten Stellen überein 
stimmt. Nun wandelt man in gleicher Art 1' in eine Permutation 
um, in welcher an den (v + 2) ersten Plätzen sich dieselben Elemente 
befinden wie in II usw. Im äußersten Falle sind (n — 1) Trans 
positionen unbedingt erforderlich. 
Erklärung: Die Elemente einer Permutation pflegt man durch 
verschiedene Buchstaben a, b, c, . . . oder durch einen Buchstaben 
1) Die Bezeichnung n\ rührt her von Ch. Kramp (Arithmétique universelle 
ou l’Algèbre. 1808).