180 V. Kapitel. Rechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
mit verschiedenen Indices a 1} a 2 , a z , ... oder auch einfach durch 
die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... zu bezeichnen. Bei diesen Be 
zeichnungsarten wird unwillkürlich eine bestimmte Permutation vor 
den übrigen ausgezeichnet, bei der Wahl von Buchstaben näm 
lich die alphabetische Reihenfolge, bei der Wahl von Zahlen die 
natürliche Aufeinanderfolge. Eine irgendwie von vornherein be 
stimmte Reihenfolge wollen wir als Hauptpermutation bezeichnen 
und von zwei Elementen dasjenige das höhere nennen, welches in 
dieser Hauptpermutation an einer späteren Stelle steht. Wenn in 
irgend einer andern Permutation ein höheres Element einem niedrigeren 
vorangeht, so nennt man die gegenseitige Stellung dieser beiden Ele 
mente eine „Inversion“. In der Hauptpermutation gibt es selbst 
verständlich keine Inversion. Wählt man als Hauptpermutation die 
alphabetische Reihenfolge, so enthält beispielsweise die Permutation 
ehcad die sechs Inversionen eh, ec, ea, ed, ha, ca. 
Satz: Durch eine in einer Permutation vorgenommene 
Transposition wird die Anzahl der Inversionen stets um 
eine ungerade Zahl geändert. 
Beweis: Die zu vertauschenden Elemente seien x und y. Be 
zeichnet man die Gesamtheit der in der gegebenen Permutation vor 
x stehenden Elemente mit A, die der zwischen x und y stehenden mit 
B und die der hinter y befindlichen mit C, so geht durch die Ver 
tauschung von x und y die Permutation 
(I) A x B y G 
über in 
(II) A y B x G. 
Die Anzahl der Inversionen unter den Elementen von A, B und 
G ist selbstverständlich in beiden Permutationen die gleiche, ebenso 
auch die Anzahl der Inversionen zwischen den Elementen von A und 
x, zwischen x und den Elementen von C, zwischen den Elementen 
von A und y und zwischen y und den Elementen von C. Zu ver 
gleichen haben wir also nur die Anzahl der Inversionen in 
und 
x B y 
y B x. 
B enthalte v Elemente, von denen £ niedriger, also v — | höher als 
x, rj niedriger, also v — 17 höher als y seien. Dann ist die Anzahl 
der Inversionen 
in x B und B y zusammen £ -f- v — r\, 
in y B und B x zusammen rj + v — |.