§ 1 B. Variationen. 
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aus lauter verschiedenen Ziffern bestehenden dreiziffrigen Zahlen ist 
demnach F 5 (3) = = 60. 
Für 1c = n gehen die Variationen in die Permutationen der n 
Elemente über, und es wird 
r a W-nl-P H . 
Die Permutationen sind also nur ein besonderer Fall der Variationen 1 ). 
II. Variationen mit Wiederholung. 
Es seien die n Elemente, aus denen wir unsere Komplexionen 
bilden, nicht sämtlich voneinander verschieden; fi x Elemente seien a lf 
Elemente a 2 , ... u m Elemente a m , wobei 
Pl + ^2 + ■ ' ■ + fh» ~ n • 
Eine Komplexion, welche irgend Je von diesen n Elementen enthält, 
wird (wieder unter der Voraussetzung, daß die Reihenfolge der Ele 
mente innerhalb der Komplexion von Bedeutung ist) zu den Variationen 
/o ter Klasse mit Wiederholung von n Elementen gerechnet. Die Zahlen 
u l; fi 2 , , . . fi m können voneinander verschieden sein. Kommen unter 
ihnen auch solche vor, die kleiner als Je sind, so spricht man von 
Variationen Jc ter Klasse mit „beschränkter Wiederholung“. Sind da 
gegen die Zahlen i a 1 , fi 2 , ... fi m sämtlich mindestens gleich Je, dürfen 
also in jeder Komplexion beliebig viele der Je Plätze, auch alle Je, von 
einem der Elemente a 1 , a. 2 , ... a m eingenommen werden, so heißen 
die Variationen „Variationen mit unbeschränkter Wiederholung“ oder 
kürzer „Variationen mit Wiederholung“. Whgen der Variationen mit 
beschränkter Wiederholung, die wir hier nicht ausführlich behandeln 
können, verweisen wir auf E. Netto, Lehrbuch der Kombinatorik, 
§ 23 ff. Um alle Variationen Je tM Klasse mit unbeschränkter Wieder 
holung zu erhalten, ordnen wir die uns zur Verfügung stehenden 
n Elemente in folgender Weise: 
1) ciy, <x 2 , . . . ct m , 
2) a 1} a 2 , . . . a m , 
Je) ciy, <i 2 , . . . cx m . 
1) L. öttinger (Arch. d. Math. u. Phys. 15. Bd., S. 241, 1850) tritt deshalb 
sehr lebhaft dafür ein, daß man nur zwei kombinatorische Grundoperationen 
unterscheiden solle, die Variationen, die er „Versetzungen“ nennt, und die Kom 
binationen, die er als „Verbindungen“ bezeichnet. Aus pädagogischen Gründen 
dürfte es sich aber empfehlen, den besonderen Fall der Permutationen vorweg 
zu nehmen und bei der allgemein üblichen Dreiteilung der kombinatorischen 
Operationen zu bleiben.