186 V. Kapitel. Rechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
welche das (n + l) te Element nicht enthalten; ihre Anzahl ist 
CJ® = (”) • Die zweite Gruppe enthält dann alle die Kombinationen, 
welche aus dem (n -f- l) ten Elemente und irgend einer Kombination 
ohne Wiederholung der ersten n Elemente zur Klasse (Je — 1) bestehen; 
deren Anzahl beträgt CJ k ~ V) = ^ n ^ • 
Also 
(jw = c (*) 4- C 
oder 
(D-O + G-iH 
Aus der soeben bewiesenen Formel b) kann man eine Reihe wich 
tiger Folgerungen ziehen: 
1. Es ist 
O- 1 « C)->. O- 1 « 
o-*. a)= 3 - o-». o- 1 - 
Das Symbol ^ ^ j stellt also für n = 2 und n = 3 bei 0 Je 
ganze Zahlen dar. Mittels der Formel b) ergibt sich durch den 
Schluß von n auf n-fl, daß für jeden positiven ganz 
zahligen Wert von n und jeden ganzzahligen Wert von Je, der 
zwischen 0 und n liegt, eine ganze Zahl ist, was natürlich auch 
schon aus = CJ® zu schließen war. 
2. Die wiederholte Anwendung der Formel b) liefert die Gleichungen: 
o-cri + ciib 
/n—1\ in—2\ in—2\ 
U-lj = U-l/ + w — 2/ ’ 
C‘ _ 2 +2 )-r _ 2 +1 ) + C“i +1 )> 
ri+VM+CT*)» 
1) Viele Formeln der Kombinationslehre lassen sich nach ähnlicher Methode 
beweisen, nämlich durch verschiedene Zerlegungen der sämtlichen Kombinationen 
einer bestimmten Klasse in Gruppen.