§ IC, II. Kombinationen mit Wiederholung. 189 
sein. k muß natürlich einen kleineren Wert als n, kann aber einen 
größeren als m, die Anzahl der voneinander verschiedenen Elemente, 
haben. Wir behandeln hier nur den Fall der Kombinationen mit 
unbeschränkter Wiederholung, in welchem die Zahlen g 2 , ... ¡x m 
alle mindestens gleich k sind, so daß beliebig viele der 1c Plätze einer 
Komplexion, auch alle k, von untereinander gleichen Elementen ein 
genommen werden können. Um alle Kombinationen k tei Klasse dieser 
Elemente zu erhalten, gehen wir von der schon in B II benutzten An 
ordnung aus: 
1) a 1 , a 2 , ... a m , 
2) a i , er 2 , ... ci m , 
K) %, «2, ••• a m, 
nehmen aus der ersten Reihe irgend ein Glied a , aus der zweiten 
jetzt aber nicht mehr ein ganz beliebiges, sondern entweder das gerade 
unter a, stehende oder ein rechts von diesem befindliches, a„ , aus 
m i _ 7 
der dritten Reihe entweder das gerade unter a stehende oder ein 
rechts von diesem befindliches, a , usw. Da in jeder auf diese Art ge 
bildeten Kombination die Elemente so geordnet sind, daß niemals ein 
höheres Element einem niederen vorangeht, sind wir sicher, in der be 
schriebenen Weise alle Kombinationen k ter Klasse, aber jede nur ein 
mal zn erhalten. Um ihre Anzahl zu bestimmen, bilden wir alle nach 
genau der gleichen Vorschrift möglichen Komplexionen k tei Klasse aus 
dem Tableau 
1) 
a i, 
ct 2 , 
a 3, • • 
2) 
«2; 
a 3 , 
a±, . . 
• a m +1 > 
3) 
a 3 , 
a i7 
a 5 , 
• a m+2> 
k) 
a k> 
a k+l> 
a k+27 • • 
a k + m - 1 7 
das aus dem vorigen entsteht, wenn man die erste Reihe unverändert 
läßt, in der zweiten jeden Index um 1, in der dritten jeden Index um 
2, ... in der k t6n jeden Index um 1c — 1 erhöht. Die so entstehenden 
Komplexionen sind aber die sämtlichen Kombinationen k tei Klasse 
der voneinander verschiedenen Elemente a 1} a 2 , ... a m , ... a m+k _ 1 , 
deren jede nur einmal auftritt, nämlich in derjenigen Anordnung ihrer 
Elemente, in welcher keine Inversion vorkommt. Da jeder aus dem 
ersten Tableau gebildeten Komplexion eine aus dem zweiten zusammen 
gesetzte entspricht und umgekehrt, stimmt die Anzahl der Kombina 
tionen k teT Klasse einer Reihe von Elementen, die derart in m Gruppen 
von mindestens je k zerfallen, daß die Elemente jeder Gruppe ein 
ander gleich, die verschiedener Gruppen aber ungleich sind, überein