190 V. Kapitel. Bechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
mit der Anzahl der Kombinationen der sämtlich voneinander ver 
schiedenen Elemente cq, « 2 , ... a m+k _ 1 zur Klasse Tt } ist also gleich 
Der Grundgedanke des soeben vorgetragenen Beweises findet sich 
zuerst bei H. F. Scherk, Journ. f. Math., Bd. III (1828), S. 97 und 
dann wieder bei P. A. Förstemann, Journ. f. Math., Bd. XIII (1835),, 
S. 237. 
I). Eine Anwendung der Kombinatorik. 
Die Hauptanwendungen der Kombinatorik werden wir in den 
nächsten Paragraphen dieses Kapitels behandeln (Binomischer, Poly 
nomischer Satz, § 2; Wahrscheinlichkeitsrechnung, § 6). An dieser 
Stelle wollen wir nur kurz auf eine schon früher (Кар. I, § 3 B, S. 12) 
erwähnte Aufgabe eingehen, nämlich die Frage, auf wie viele Arten eine 
Summe oder ein Produkt von n verschiedenen Summanden bezüglich 
Faktoren berechnet werden kann, wenn man bei jedem Schritte immer 
nur zwei aufeinander folgende Summanden (bezüglich Faktoren) zu 
einer Summe (bezüglich einem Produkt) zusammenfaßt und eine 
solche Summe (bezüglich Produkt) für die folgende Rechnung 
stets als einzelnes Glied ansieht. Das Problem ist behandelt worden 
von E. Catalan (Journ. de Mathématiques pures et appliquées, publ. 
par Liouville, Bd. 3 (1838), S. 515 und Bd. 6 (1841), S. 74), 0. Ro- 
drigues (dasselbe Journal, Bd. 3 (1838), S. 549) und unabhängig von 
diesen Autoren von E. Schröder, Zeitschr. f. Math., Bd. 15 (1870), 
S. 361 und Bd. 16 (1871), S. 179. 
Läßt sich die Summe 1 ) der n voneinander verschiedenen Zahlen 
a 1} a 2 , ... a n bei unveränderter Reihenfolge der Summanden auf u n 
Arten bilden, so ist die Zahl, welche angibt, auf wie viele Arten bei 
allen möglichen Reihenfolgen die Summation ausgeführt werden kann, 
v n = n\ • u n . Für n = 4 sind beim Festhalten an der Reihenfolge 
«i, a 2 , a 3 ,a 4 die folgenden, durch Klammern gekennzeichneten Methoden 
der Summenbildung möglich: 
1) {+ \_ a 2 + ( а з + °b3] } ? 
2) {+ [(« 2 + а з) + а Л} ; 
6) [(<R + «a) + ( а з + a i)] ? 
4) { [(% + a %) + а з\ + a i} i 
5) {\o>x + («a “b «з)1 + } • 
1) Wir sprechen im folgenden nur von der Addition; bei Ersatz der Worte: 
„Summand, Summe“ durch „Faktor, Produkt“ bleiben alle Schlüsse gültig.