194 V. Kapitel. Bechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
dann das erhaltene Produkt mit der dritten multipliziert usw. Wir 
wollen hier für einige spezielle, oft verkommende Produkte die Um 
wandlung in eine algebraische Summe behandeln. 
I. Es sei das aus n Faktoren bestehende Produkt vorgelegt: 
o + x ± ) ■ (a + x 2 ) ■ (a + x 3 ) ■ ■ ■ (a + #„_i) • (a + x n ). 
Statt zu verfahren, wie eben angegeben, können wir das Resultat 
auch durch folgende Überlegung finden: Jedes Glied der zu suchenden 
Summe ist ein Produkt aus n Faktoren, und zwar enthält es als einen 
Faktor einen der beiden Summanden des ersten Binoms, als einen 
zweiten Faktor einen der beiden Summanden des zweiten Binoms usw. 
Nehmen wir aus jedem Binom den ersten Summanden, so entsteht 
das Glied a n \ nehmen wir aus (n — 1) Binomen den ersten Summanden, 
aus dem n t6n dann noch übrig bleibenden den zweiten, so bekommen 
wir die Glieder 
a n ~ 1 x n . 
n 
Nehmen wir aus (n — 2) Binomen den ersten Summanden, aus den 
beiden dann noch übrig bleibenden den zweiten, so entstehen die 
Glieder 
a n 2 /y» rp pjU—2/y» rp 
vi/£ tX/ 2 } ^ «A/ß 2 * ‘ ’ y 
So weiter schließend, erkennt man, daß das vorgelegte Produkt gleich 
der Summe ist 
a n -f- a 11 1 (^i 4- x 2 + • • • + x w ) -f- a n 2 (x 1 x 2 -f- x x x 3 -j h x n _ l x n ) -] 
+ a n ~ v {x x x 2 + «,_ r+ i • • • x n-i x n) + • • • 
+ a{x x x 2 • • • x n _ 1 H h x 2 x 3 * • • zj + x t x 2 • • • x n _ x x n , 
in welcher als Koeffizient von a n ~ v die Summe aller Produkte von 
je v der n Größen x t , x 2 , .. ., x n auftritt, deren Anzahl gleich der 
Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung von n Elementen zur 
Setzen wir insbesondere 
v ten Klasse 
rp rp , , , rp ' rp 
vi/2 ^71 ^ 
so wird 
(a + a?) M = ct w + a n ~ 1 x + (i n ~*x 2 + • • • + a n ~ v x v +• 
+ (o) a 2 x n ~ 2 + ax tl ~ x + x n