§ 2 C, I. Binomischer Lehrsatz. 
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Diese wichtige Formel, welche die w te Potenz eines Binoms in 
Form einer Summe darstellt, heißt der binomische Lehrsatz 1 ). 
Die Koeffizienten der rechten Seite (2)’ ( 3 ) > ’ ‘ we l c ^ e 
wir § 1 C, I als Anzahlen der Kombinationen ohne Wiederholung ge 
funden haben, werden wegen ihres Vorkommens in der Binomial- 
formel auch Binomial-Koeffizienten genannt. 
Für die kleineren Werte von n kann man (a + x) n durch suk 
zessives Ausmultiplizieren finden: 
(a -f- x) 2 = a 2 + 2ax -f x 2 , 
(a + x) 3 = a 3 + 3 a 2 x -f- 3 ax 2 -f- x % , 
(a + x) 4 = a 4 + 4a s x -f- Qa 2 x 2 + 4a# 3 -f x 4 usw. 
Hat man bereits erkannt, daß für diese Exponenten 2, 3, 4, . . . die 
Koeffizienten der rechten Seite die Kombinationszahlen ( i sind, so 
kann man die Gültigkeit der Binomialformel für einen beliebigen po 
sitiven ganzen‘Wert von n auch leicht durch den Schluß von n auf 
n + 1 zeigen und hat damit einen zweiten Beweis dieses wichtigen 
Satzes. 
Wenn nämlich 
(a + x) n = a n + ^ ^ a n ~ 1 x -f- ^ ”) att ~ 2 # 2 + ••• + ( ”) a n ~ v x v 
so folgt durch Multiplikation beider Seiten mit (a -f x): 
1) Die Koeffizienten der Entwicklung von (a -f- x) n finden sich zuerst in 
der Arithmetica integra von Michael Stifel (1544), welcher die Binomial 
formel zwar nicht ausdrücklich hinschreibt, die Koeffizienten aber bereits zur 
Lösung der inversen Aufgabe, der Wurzelausziehung, benutzt. Vgl. Cantor II, 
S, 433—434. 
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