196 V. Kapitel. Rechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
oder, da nach § IC, Ib 
x v + • • • 
Gilt also die Binomialformel für irgend einen Wert des Exponenten, 
so gilt sie auch für den um 1 größeren Wert. Da sie aber für n — 2 
richtig ist, haben wir ihre Gültigkeit für jeden positiven ganzzahligen 
Wert von n erwiesen. 
Folgerungen: 
1. Für a = 1 und x = 1 ergibt die Binomialformel 
2. Mittels des binomischen Satzes lassen sich sehr leicht einige 
Sätze beweisen, die wir früher (vgl. S. 28, 86 u. 87) auf anderem 
Wege etwas umständlicher gefunden haben. 
a) Wenn #>1, so kann z n durch hinreichend große 
Werte von n beliebig groß gemacht werden. 
Beweis: Es sei 
* = 1 + P, 
wo p eine bestimmte positive Zahl bedeutet. Nach dem binomischen 
Satze wird 
Z n = (1 + p) n =» 1 + np + ( 2 ) p 2 4 h P n , 
also 
z n > 1 + np. 
Da durch hinreichend große Werte von n das Produkt np be 
liebig groß gemacht werden kann, ist unsere Behauptung erwiesen. 
b) Wenn # < 1, so kann z n durch hinreichend große Werte von 
n beliebig klein gemacht werden. 
Beweis: Wenn z < 1, so ist «/ = — >!, und weil y n bei hin 
reichend großen Werten von n jede beliebige Grenze überschreiten 
beliebig klein machen.