§ 20, II. Polynomischer Lehrsatz.
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II. Es soll
(« Faktoren)
{a -j- h -f- c) n = (ci h c) • (et h c) - • • {ci 4- & -b o)
in eine Summe verwandelt werden.
Irgend ein Glied der gesuchten Summe entsteht, indem mau
einen der drei Summanden des ersten Trinoms mit einem der
drei Summanden des zweiten Trinoms usw., endlich mit einem der
drei Summanden des n ten Trinoms multipliziert. Hat man aus
a Klammern den ersten Summanden a, aus ß den zweiten Summanden
h und aus y den dritten Summanden c gewählt (cc -f- ß + y = w), so
erhält man das Produkt a a h^c Y . Um festzustellen, auf wie viele Arten
dieses Produkt entstehen kann, denke man sich unter die a Trinome, aus
welchen man den ersten Summanden genommen hat, a geschrieben,
unter die ß Trinome, aus welchen man den zweiten Summanden ge
nommen hat, h und unter die y Trinome, aus welchen man den
dritten Summanden genommen hat, c gesetzt. Jede einzelne mögliche
Anordnung der a, &, c entspricht gerade einem Entstehungsmodus
des Produktes a a })Pc Y . Man erhält dieses also genau so oft, wie sich
n Elemente, unter denen a gleich a, ß gleich h und y gleich c sind,
permutieren lassen, d. h. nach § 1 A mal. Nun darf jede der
drei Zahlen a, ß, y jeden der Werte 0, 1, 2, .. ., n annehmen, aber
immer nur so, daß a + ß -f- y — n.
Man findet deshalb sämtliche Glieder der gewünschten Summe,
wenn man n auf alle möglichen Arten als Summe von drei Zahlen
a, ß, y darstellt, deren jede einen der Werte 0, 1,2, . . ., n hat, das
einer bestimmten Zerlegung von n entsprechende Produkt a a hi i c y mit
alßfyY multipliziert und alle auf diese Weise gebildeten Glieder
addiert. Gleiche Koeffizienten erhalten die Glieder, welche durch
eine Vertauschung der Werte von a, ß, y auseinander hervorgehen.
Unter Benutzung des griechischen Buchstabens als Summen
zeichens drückt man die Bildungsweise der Summe kurz durch die
Formel aus:
(« + 6 +O” = 2'Jmi a “ bi ‘ cr
a= |
¡3= fo, 1, 2,
Y= ’
mit der Bedingung a + ß + y = n.
In genau derselben Weise ergibt sich die n te Potenz einer Summe
von m Summanden:
